Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7476 / 5190
↖ ↑ ↗
← N 54.901882°
W 15.732422°		 ← 1 404.80 m → N 54.901882°
W 15.710449°		 →
↑
1 405.06 m
↓
↑
1 405.06 m
↓
N 54.889246°
W 15.732422°		 ← 1 405.24 m →
1 974 132 m²		 N 54.889246°
W 15.710449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456329345703125 y=0.316802978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456329345703125 × 214)
    floor (0.456329345703125 × 16384)
    floor (7476.5)     		tx = 7476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316802978515625 × 214)
    floor (0.316802978515625 × 16384)
    floor (5190.5)     		ty = 5190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7476 / 5190 ti = "14/7476/5190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7476/5190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7476 ÷ 214
    7476 ÷ 16384     		x = 0.456298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5190 ÷ 214
    5190 ÷ 16384     		y = 0.3167724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456298828125 × 2 - 1) × π
    -0.08740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27458256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3167724609375 × 2 - 1) × π
    0.366455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.15125258127527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27458256} λ = -0.27458256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15125258127527))-π/2
    2×atan(3.16215128156583)-π/2
    2×1.26450746824394-π/2
    2.52901493648787-1.57079632675     		φ = 0.95821861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27458256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.732422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95821861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.901882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7476 KachelY 5190 -0.27458256 0.95821861 -15.732422 54.901882
    Oben rechts KachelX + 1 7477 KachelY 5190 -0.27419907 0.95821861 -15.710449 54.901882
    Unten links KachelX 7476 KachelY + 1 5191 -0.27458256 0.95799807 -15.732422 54.889246
    Unten rechts KachelX + 1 7477 KachelY + 1 5191 -0.27419907 0.95799807 -15.710449 54.889246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95821861-0.95799807) × R
    0.000220539999999936 × 6371000     		dl = 1405.06033999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95821861-0.95799807) × R
    0.000220539999999936 × 6371000     		dr = 1405.06033999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27458256--0.27419907) × cos(0.95821861) × R
    0.000383489999999986 × 0.574978374978823 × 6371000     		do = 1404.79566967838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27458256--0.27419907) × cos(0.95799807) × R
    0.000383489999999986 × 0.575158799898921 × 6371000     		du = 1405.23648651165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95821861)-sin(0.95799807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574978374978823-0.575158799898921)×R²
    abs(-0.27419907--0.27458256)×0.000180424920098954×R²
    0.000383489999999986×0.000180424920098954×6371000²
    0.000383489999999986×0.000180424920098954×40589641000000     		ar = 1974132.37639468m²