Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7476 / 4460
↖ ↑ ↗
← N 63.114637°
W 15.732422°		 ← 1 104.84 m → N 63.114637°
W 15.710449°		 →
↑
1 105.05 m
↓
↑
1 105.05 m
↓
N 63.104700°
W 15.732422°		 ← 1 105.22 m →
1 221 111 m²		 N 63.104700°
W 15.710449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456329345703125 y=0.272247314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456329345703125 × 214)
    floor (0.456329345703125 × 16384)
    floor (7476.5)     		tx = 7476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272247314453125 × 214)
    floor (0.272247314453125 × 16384)
    floor (4460.5)     		ty = 4460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7476 / 4460 ti = "14/7476/4460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7476/4460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7476 ÷ 214
    7476 ÷ 16384     		x = 0.456298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4460 ÷ 214
    4460 ÷ 16384     		y = 0.272216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456298828125 × 2 - 1) × π
    -0.08740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27458256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272216796875 × 2 - 1) × π
    0.45556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.4312040750564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27458256} λ = -0.27458256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4312040750564))-π/2
    2×atan(4.18373368973679)-π/2
    2×1.3361772798335-π/2
    2.67235455966701-1.57079632675     		φ = 1.10155823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27458256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.732422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10155823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.114637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7476 KachelY 4460 -0.27458256 1.10155823 -15.732422 63.114637
    Oben rechts KachelX + 1 7477 KachelY 4460 -0.27419907 1.10155823 -15.710449 63.114637
    Unten links KachelX 7476 KachelY + 1 4461 -0.27458256 1.10138478 -15.732422 63.104700
    Unten rechts KachelX + 1 7477 KachelY + 1 4461 -0.27419907 1.10138478 -15.710449 63.104700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10155823-1.10138478) × R
    0.000173449999999908 × 6371000     		dl = 1105.04994999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10155823-1.10138478) × R
    0.000173449999999908 × 6371000     		dr = 1105.04994999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27458256--0.27419907) × cos(1.10155823) × R
    0.000383489999999986 × 0.452206865259001 × 6371000     		do = 1104.83850134029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27458256--0.27419907) × cos(1.10138478) × R
    0.000383489999999986 × 0.452361560780501 × 6371000     		du = 1105.21645572636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10155823)-sin(1.10138478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452206865259001-0.452361560780501)×R²
    abs(-0.27419907--0.27458256)×0.000154695521500103×R²
    0.000383489999999986×0.000154695521500103×6371000²
    0.000383489999999986×0.000154695521500103×40589641000000     		ar = 1221110.56296333m²