Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7476 / 3794
↖ ↑ ↗
← N 69.021414°
W 15.732422°		 ← 874.72 m → N 69.021414°
W 15.710449°		 →
↑
874.87 m
↓
↑
874.87 m
↓
N 69.013546°
W 15.732422°		 ← 875.03 m →
765 397 m²		 N 69.013546°
W 15.710449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456329345703125 y=0.231597900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456329345703125 × 214)
    floor (0.456329345703125 × 16384)
    floor (7476.5)     		tx = 7476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231597900390625 × 214)
    floor (0.231597900390625 × 16384)
    floor (3794.5)     		ty = 3794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7476 / 3794 ti = "14/7476/3794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7476/3794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7476 ÷ 214
    7476 ÷ 16384     		x = 0.456298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3794 ÷ 214
    3794 ÷ 16384     		y = 0.2315673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456298828125 × 2 - 1) × π
    -0.08740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27458256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2315673828125 × 2 - 1) × π
    0.536865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.68661187623206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27458256} λ = -0.27458256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68661187623206))-π/2
    2×atan(5.40114990478992)-π/2
    2×1.38772362850092-π/2
    2.77544725700184-1.57079632675     		φ = 1.20465093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27458256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.732422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20465093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.021414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7476 KachelY 3794 -0.27458256 1.20465093 -15.732422 69.021414
    Oben rechts KachelX + 1 7477 KachelY 3794 -0.27419907 1.20465093 -15.710449 69.021414
    Unten links KachelX 7476 KachelY + 1 3795 -0.27458256 1.20451361 -15.732422 69.013546
    Unten rechts KachelX + 1 7477 KachelY + 1 3795 -0.27419907 1.20451361 -15.710449 69.013546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20465093-1.20451361) × R
    0.000137319999999885 × 6371000     		dl = 874.865719999269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20465093-1.20451361) × R
    0.000137319999999885 × 6371000     		dr = 874.865719999269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27458256--0.27419907) × cos(1.20465093) × R
    0.000383489999999986 × 0.358019002458138 × 6371000     		do = 874.717321906737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27458256--0.27419907) × cos(1.20451361) × R
    0.000383489999999986 × 0.358147216729857 × 6371000     		du = 875.03057691169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20465093)-sin(1.20451361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358019002458138-0.358147216729857)×R²
    abs(-0.27419907--0.27458256)×0.000128214271719052×R²
    0.000383489999999986×0.000128214271719052×6371000²
    0.000383489999999986×0.000128214271719052×40589641000000     		ar = 765397.22886026m²