Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7476 / 10652
↖ ↑ ↗
← S 47.457808°
W 15.732422°		 ← 1 651.94 m → S 47.457808°
W 15.710449°		 →
↑
1 651.75 m
↓
↑
1 651.75 m
↓
S 47.472663°
W 15.732422°		 ← 1 651.47 m →
2 728 196 m²		 S 47.472663°
W 15.710449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456329345703125 y=0.650177001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456329345703125 × 214)
    floor (0.456329345703125 × 16384)
    floor (7476.5)     		tx = 7476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650177001953125 × 214)
    floor (0.650177001953125 × 16384)
    floor (10652.5)     		ty = 10652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7476 / 10652 ti = "14/7476/10652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7476/10652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7476 ÷ 214
    7476 ÷ 16384     		x = 0.456298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10652 ÷ 214
    10652 ÷ 16384     		y = 0.650146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456298828125 × 2 - 1) × π
    -0.08740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27458256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650146484375 × 2 - 1) × π
    -0.30029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.943398184522705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27458256} λ = -0.27458256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.943398184522705))-π/2
    2×atan(0.389302662759995)-π/2
    2×0.371250656085241-π/2
    0.742501312170483-1.57079632675     		φ = -0.82829501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27458256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.732422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82829501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.457808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7476 KachelY 10652 -0.27458256 -0.82829501 -15.732422 -47.457808
    Oben rechts KachelX + 1 7477 KachelY 10652 -0.27419907 -0.82829501 -15.710449 -47.457808
    Unten links KachelX 7476 KachelY + 1 10653 -0.27458256 -0.82855427 -15.732422 -47.472663
    Unten rechts KachelX + 1 7477 KachelY + 1 10653 -0.27419907 -0.82855427 -15.710449 -47.472663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82829501--0.82855427) × R
    0.000259259999999983 × 6371000     		dl = 1651.74545999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82829501--0.82855427) × R
    0.000259259999999983 × 6371000     		dr = 1651.74545999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27458256--0.27419907) × cos(-0.82829501) × R
    0.000383489999999986 × 0.676132944141508 × 6371000     		do = 1651.93800913272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27458256--0.27419907) × cos(-0.82855427) × R
    0.000383489999999986 × 0.675941903930099 × 6371000     		du = 1651.47125686272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82829501)-sin(-0.82855427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676132944141508-0.675941903930099)×R²
    abs(-0.27419907--0.27458256)×0.000191040211408144×R²
    0.000383489999999986×0.000191040211408144×6371000²
    0.000383489999999986×0.000191040211408144×40589641000000     		ar = 2728195.64409526m²