Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74753 / 54707
↖ ↑ ↗
← N 28.490419°
E 25.315246°		 ← 268.44 m → N 28.490419°
E 25.317993°		 →
↑
268.41 m
↓
↑
268.41 m
↓
N 28.488005°
E 25.315246°		 ← 268.44 m →
72 052 m²		 N 28.488005°
E 25.317993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570323944091797 y=0.417385101318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570323944091797 × 217)
    floor (0.570323944091797 × 131072)
    floor (74753.5)     		tx = 74753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417385101318359 × 217)
    floor (0.417385101318359 × 131072)
    floor (54707.5)     		ty = 54707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74753 / 54707 ti = "17/74753/54707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74753/54707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74753 ÷ 217
    74753 ÷ 131072     		x = 0.570320129394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54707 ÷ 217
    54707 ÷ 131072     		y = 0.417381286621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570320129394531 × 2 - 1) × π
    0.140640258789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.44183440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417381286621094 × 2 - 1) × π
    0.165237426757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.519108685985588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44183440} λ = 0.44183440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.519108685985588))-π/2
    2×atan(1.68052910281921)-π/2
    2×1.03402397349668-π/2
    2.06804794699337-1.57079632675     		φ = 0.49725162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44183440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.315246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49725162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.490419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74753 KachelY 54707 0.44183440 0.49725162 25.315246 28.490419
    Oben rechts KachelX + 1 74754 KachelY 54707 0.44188234 0.49725162 25.317993 28.490419
    Unten links KachelX 74753 KachelY + 1 54708 0.44183440 0.49720949 25.315246 28.488005
    Unten rechts KachelX + 1 74754 KachelY + 1 54708 0.44188234 0.49720949 25.317993 28.488005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49725162-0.49720949) × R
    4.21300000000291e-05 × 6371000     		dl = 268.410230000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49725162-0.49720949) × R
    4.21300000000291e-05 × 6371000     		dr = 268.410230000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44183440-0.44188234) × cos(0.49725162) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.878896889344842 × 6371000     		do = 268.43773281167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44183440-0.44188234) × cos(0.49720949) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.878916985072001 × 6371000     		du = 268.443870564009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49725162)-sin(0.49720949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878896889344842-0.878916985072001)×R²
    abs(0.44188234-0.44183440)×2.00957271595525e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00957271595525e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00957271595525e-05×40589641000000     		ar = 72052.2573330439m²