Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74751 / 54705
↖ ↑ ↗
← N 28.495247°
E 25.309753°		 ← 268.43 m → N 28.495247°
E 25.312500°		 →
↑
268.41 m
↓
↑
268.41 m
↓
N 28.492833°
E 25.309753°		 ← 268.43 m →
72 049 m²		 N 28.492833°
E 25.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570308685302734 y=0.417369842529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570308685302734 × 217)
    floor (0.570308685302734 × 131072)
    floor (74751.5)     		tx = 74751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417369842529297 × 217)
    floor (0.417369842529297 × 131072)
    floor (54705.5)     		ty = 54705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74751 / 54705 ti = "17/74751/54705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74751/54705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74751 ÷ 217
    74751 ÷ 131072     		x = 0.570304870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54705 ÷ 217
    54705 ÷ 131072     		y = 0.417366027832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570304870605469 × 2 - 1) × π
    0.140609741210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.44173853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417366027832031 × 2 - 1) × π
    0.165267944335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.519204559784828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44173853} λ = 0.44173853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.519204559784828))-π/2
    2×atan(1.68069022925281)-π/2
    2×1.0340661041252-π/2
    2.06813220825041-1.57079632675     		φ = 0.49733588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44173853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.309753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49733588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.495247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74751 KachelY 54705 0.44173853 0.49733588 25.309753 28.495247
    Oben rechts KachelX + 1 74752 KachelY 54705 0.44178647 0.49733588 25.312500 28.495247
    Unten links KachelX 74751 KachelY + 1 54706 0.44173853 0.49729375 25.309753 28.492833
    Unten rechts KachelX + 1 74752 KachelY + 1 54706 0.44178647 0.49729375 25.312500 28.492833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49733588-0.49729375) × R
    4.21300000000291e-05 × 6371000     		dl = 268.410230000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49733588-0.49729375) × R
    4.21300000000291e-05 × 6371000     		dr = 268.410230000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44173853-0.44178647) × cos(0.49733588) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.878856693210599 × 6371000     		do = 268.425455877624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44173853-0.44178647) × cos(0.49729375) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.878876792057695 × 6371000     		du = 268.431594582872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49733588)-sin(0.49729375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878856693210599-0.878876792057695)×R²
    abs(0.44178647-0.44173853)×2.0098847096861e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0098847096861e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0098847096861e-05×40589641000000     		ar = 72048.9622063303m²