Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7475 / 7389
↖ ↑ ↗
← S 80.851891°
E148.491211°		 ← 776.89 m → S 80.851891°
E148.535156°		 →
↑
776.62 m
↓
↑
776.62 m
↓
S 80.858875°
E148.491211°		 ← 776.30 m →
603 123 m²		 S 80.858875°
E148.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91253662109375 y=0.90203857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91253662109375 × 213)
    floor (0.91253662109375 × 8192)
    floor (7475.5)     		tx = 7475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90203857421875 × 213)
    floor (0.90203857421875 × 8192)
    floor (7389.5)     		ty = 7389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7475 / 7389 ti = "13/7475/7389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7475/7389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7475 ÷ 213
    7475 ÷ 8192     		x = 0.9124755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7389 ÷ 213
    7389 ÷ 8192     		y = 0.9019775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9124755859375 × 2 - 1) × π
    0.824951171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59166054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9019775390625 × 2 - 1) × π
    -0.803955078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.52569936718152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59166054} λ = 2.59166054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52569936718152))-π/2
    2×atan(0.0800023422044253)-π/2
    2×0.0798323130214476-π/2
    0.159664626042895-1.57079632675     		φ = -1.41113170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59166054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.491211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41113170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.851891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7475 KachelY 7389 2.59166054 -1.41113170 148.491211 -80.851891
    Oben rechts KachelX + 1 7476 KachelY 7389 2.59242753 -1.41113170 148.535156 -80.851891
    Unten links KachelX 7475 KachelY + 1 7390 2.59166054 -1.41125360 148.491211 -80.858875
    Unten rechts KachelX + 1 7476 KachelY + 1 7390 2.59242753 -1.41125360 148.535156 -80.858875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41113170--1.41125360) × R
    0.000121899999999897 × 6371000     		dl = 776.624899999344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41113170--1.41125360) × R
    0.000121899999999897 × 6371000     		dr = 776.624899999344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59166054-2.59242753) × cos(-1.41113170) × R
    0.000766990000000245 × 0.158987108082589 × 6371000     		do = 776.889436842323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59166054-2.59242753) × cos(-1.41125360) × R
    0.000766990000000245 × 0.158866757389322 × 6371000     		du = 776.301343987229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41113170)-sin(-1.41125360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158987108082589-0.158866757389322)×R²
    abs(2.59242753-2.59166054)×0.000120350693266547×R²
    0.000766990000000245×0.000120350693266547×6371000²
    0.000766990000000245×0.000120350693266547×40589641000000     		ar = 603123.318168271m²