Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7475 / 3443
↖ ↑ ↗
← N 71.615214°
W 15.754395°		 ← 770.60 m → N 71.615214°
W 15.732422°		 →
↑
770.76 m
↓
↑
770.76 m
↓
N 71.608282°
W 15.754395°		 ← 770.88 m →
594 061 m²		 N 71.608282°
W 15.732422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456268310546875 y=0.210174560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456268310546875 × 214)
    floor (0.456268310546875 × 16384)
    floor (7475.5)     		tx = 7475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210174560546875 × 214)
    floor (0.210174560546875 × 16384)
    floor (3443.5)     		ty = 3443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7475 / 3443 ti = "14/7475/3443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7475/3443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7475 ÷ 214
    7475 ÷ 16384     		x = 0.45623779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3443 ÷ 214
    3443 ÷ 16384     		y = 0.21014404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45623779296875 × 2 - 1) × π
    -0.0875244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27496606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21014404296875 × 2 - 1) × π
    0.5797119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.82121869036517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27496606} λ = -0.27496606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82121869036517))-π/2
    2×atan(6.1793846194153)-π/2
    2×1.41035880187973-π/2
    2.82071760375945-1.57079632675     		φ = 1.24992128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27496606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.754395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24992128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.615214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7475 KachelY 3443 -0.27496606 1.24992128 -15.754395 71.615214
    Oben rechts KachelX + 1 7476 KachelY 3443 -0.27458256 1.24992128 -15.732422 71.615214
    Unten links KachelX 7475 KachelY + 1 3444 -0.27496606 1.24980030 -15.754395 71.608282
    Unten rechts KachelX + 1 7476 KachelY + 1 3444 -0.27458256 1.24980030 -15.732422 71.608282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24992128-1.24980030) × R
    0.000120979999999937 × 6371000     		dl = 770.7635799996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24992128-1.24980030) × R
    0.000120979999999937 × 6371000     		dr = 770.7635799996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27496606--0.27458256) × cos(1.24992128) × R
    0.000383500000000037 × 0.315397065487426 × 6371000     		do = 770.602869068594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27496606--0.27458256) × cos(1.24980030) × R
    0.000383500000000037 × 0.315511868334952 × 6371000     		du = 770.883364397693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24992128)-sin(1.24980030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315397065487426-0.315511868334952)×R²
    abs(-0.27458256--0.27496606)×0.000114802847525908×R²
    0.000383500000000037×0.000114802847525908×6371000²
    0.000383500000000037×0.000114802847525908×40589641000000     		ar = 594060.724636767m²