Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74748 / 54709
↖ ↑ ↗
← N 28.485591°
E 25.301514°		 ← 268.45 m → N 28.485591°
E 25.304260°		 →
↑
268.47 m
↓
↑
268.47 m
↓
N 28.483177°
E 25.301514°		 ← 268.46 m →
72 073 m²		 N 28.483177°
E 25.304260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570285797119141 y=0.417400360107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570285797119141 × 217)
    floor (0.570285797119141 × 131072)
    floor (74748.5)     		tx = 74748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417400360107422 × 217)
    floor (0.417400360107422 × 131072)
    floor (54709.5)     		ty = 54709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74748 / 54709 ti = "17/74748/54709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74748/54709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74748 ÷ 217
    74748 ÷ 131072     		x = 0.570281982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54709 ÷ 217
    54709 ÷ 131072     		y = 0.417396545410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570281982421875 × 2 - 1) × π
    0.14056396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44159472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417396545410156 × 2 - 1) × π
    0.165206909179688 × 3.1415926535     		Φ = 0.519012812186348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44159472} λ = 0.44159472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.519012812186348))-π/2
    2×atan(1.68036799183267)-π/2
    2×1.03398184094136-π/2
    2.06796368188272-1.57079632675     		φ = 0.49716736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44159472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.301514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49716736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.485591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74748 KachelY 54709 0.44159472 0.49716736 25.301514 28.485591
    Oben rechts KachelX + 1 74749 KachelY 54709 0.44164266 0.49716736 25.304260 28.485591
    Unten links KachelX 74748 KachelY + 1 54710 0.44159472 0.49712522 25.301514 28.483177
    Unten rechts KachelX + 1 74749 KachelY + 1 54710 0.44164266 0.49712522 25.304260 28.483177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49716736-0.49712522) × R
    4.21400000000238e-05 × 6371000     		dl = 268.473940000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49716736-0.49712522) × R
    4.21400000000238e-05 × 6371000     		dr = 268.473940000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44159472-0.44164266) × cos(0.49716736) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.878937079239138 × 6371000     		do = 268.450007840187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44159472-0.44164266) × cos(0.49712522) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.878957176615225 × 6371000     		du = 268.456146096151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49716736)-sin(0.49712522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878937079239138-0.878957176615225)×R²
    abs(0.44164266-0.44159472)×2.00973760866585e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.00973760866585e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.00973760866585e-05×40589641000000     		ar = 72072.655289498m²