Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74746 / 54155
↖ ↑ ↗
← N 29.814434°
E 25.296021°		 ← 264.94 m → N 29.814434°
E 25.298767°		 →
↑
265.03 m
↓
↑
265.03 m
↓
N 29.812051°
E 25.296021°		 ← 264.95 m →
70 220 m²		 N 29.812051°
E 25.298767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570270538330078 y=0.413173675537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570270538330078 × 217)
    floor (0.570270538330078 × 131072)
    floor (74746.5)     		tx = 74746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413173675537109 × 217)
    floor (0.413173675537109 × 131072)
    floor (54155.5)     		ty = 54155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74746 / 54155 ti = "17/74746/54155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74746/54155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74746 ÷ 217
    74746 ÷ 131072     		x = 0.570266723632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54155 ÷ 217
    54155 ÷ 131072     		y = 0.413169860839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570266723632812 × 2 - 1) × π
    0.140533447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44149885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413169860839844 × 2 - 1) × π
    0.173660278320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.545569854575859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44149885} λ = 0.44149885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.545569854575859))-π/2
    2×atan(1.72559143842759)-π/2
    2×1.0455781809623-π/2
    2.09115636192459-1.57079632675     		φ = 0.52036004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44149885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.296021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52036004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.814434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74746 KachelY 54155 0.44149885 0.52036004 25.296021 29.814434
    Oben rechts KachelX + 1 74747 KachelY 54155 0.44154678 0.52036004 25.298767 29.814434
    Unten links KachelX 74746 KachelY + 1 54156 0.44149885 0.52031844 25.296021 29.812051
    Unten rechts KachelX + 1 74747 KachelY + 1 54156 0.44154678 0.52031844 25.298767 29.812051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52036004-0.52031844) × R
    4.1599999999975e-05 × 6371000     		dl = 265.033599999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52036004-0.52031844) × R
    4.1599999999975e-05 × 6371000     		dr = 265.033599999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44149885-0.44154678) × cos(0.52036004) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.867640226709506 × 6371000     		do = 264.944380937837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44149885-0.44154678) × cos(0.52031844) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.867660909169047 × 6371000     		du = 264.950696575668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52036004)-sin(0.52031844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867640226709506-0.867660909169047)×R²
    abs(0.44154678-0.44149885)×2.06824595406774e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.06824595406774e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.06824595406774e-05×40589641000000     		ar = 70220.0000178854m²