Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74744 / 54147
↖ ↑ ↗
← N 29.833496°
E 25.290527°		 ← 264.95 m → N 29.833496°
E 25.293274°		 →
↑
264.97 m
↓
↑
264.97 m
↓
N 29.831113°
E 25.290527°		 ← 264.96 m →
70 204 m²		 N 29.831113°
E 25.293274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570255279541016 y=0.413112640380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570255279541016 × 217)
    floor (0.570255279541016 × 131072)
    floor (74744.5)     		tx = 74744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413112640380859 × 217)
    floor (0.413112640380859 × 131072)
    floor (54147.5)     		ty = 54147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74744 / 54147 ti = "17/74744/54147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74744/54147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74744 ÷ 217
    74744 ÷ 131072     		x = 0.57025146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54147 ÷ 217
    54147 ÷ 131072     		y = 0.413108825683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57025146484375 × 2 - 1) × π
    0.1405029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44140297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413108825683594 × 2 - 1) × π
    0.173782348632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.54595334977282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44140297} λ = 0.44140297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.54595334977282))-π/2
    2×atan(1.72625332136249)-π/2
    2×1.04574453302975-π/2
    2.0914890660595-1.57079632675     		φ = 0.52069274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44140297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.290527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52069274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.833496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74744 KachelY 54147 0.44140297 0.52069274 25.290527 29.833496
    Oben rechts KachelX + 1 74745 KachelY 54147 0.44145091 0.52069274 25.293274 29.833496
    Unten links KachelX 74744 KachelY + 1 54148 0.44140297 0.52065115 25.290527 29.831113
    Unten rechts KachelX + 1 74745 KachelY + 1 54148 0.44145091 0.52065115 25.293274 29.831113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52069274-0.52065115) × R
    4.15900000000358e-05 × 6371000     		dl = 264.969890000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52069274-0.52065115) × R
    4.15900000000358e-05 × 6371000     		dr = 264.969890000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44140297-0.44145091) × cos(0.52069274) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.867474762730186 × 6371000     		do = 264.949121338018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44140297-0.44145091) × cos(0.52065115) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.867495452222693 × 6371000     		du = 264.955440441577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52069274)-sin(0.52065115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867474762730186-0.867495452222693)×R²
    abs(0.44145091-0.44140297)×2.06894925062207e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.06894925062207e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.06894925062207e-05×40589641000000     		ar = 70204.3767327746m²