Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74742 / 54674
↖ ↑ ↗
← N 28.570050°
E 25.285034°		 ← 268.18 m → N 28.570050°
E 25.287780°		 →
↑
268.22 m
↓
↑
268.22 m
↓
N 28.567638°
E 25.285034°		 ← 268.19 m →
71 932 m²		 N 28.567638°
E 25.287780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570240020751953 y=0.417133331298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570240020751953 × 217)
    floor (0.570240020751953 × 131072)
    floor (74742.5)     		tx = 74742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417133331298828 × 217)
    floor (0.417133331298828 × 131072)
    floor (54674.5)     		ty = 54674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74742 / 54674 ti = "17/74742/54674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74742/54674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74742 ÷ 217
    74742 ÷ 131072     		x = 0.570236206054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54674 ÷ 217
    54674 ÷ 131072     		y = 0.417129516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570236206054688 × 2 - 1) × π
    0.140472412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44130710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417129516601562 × 2 - 1) × π
    0.165740966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.52069060367305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44130710} λ = 0.44130710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52069060367305))-π/2
    2×atan(1.6831896653719)-π/2
    2×1.03471888232034-π/2
    2.06943776464068-1.57079632675     		φ = 0.49864144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44130710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.285034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49864144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.570050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74742 KachelY 54674 0.44130710 0.49864144 25.285034 28.570050
    Oben rechts KachelX + 1 74743 KachelY 54674 0.44135503 0.49864144 25.287780 28.570050
    Unten links KachelX 74742 KachelY + 1 54675 0.44130710 0.49859934 25.285034 28.567638
    Unten rechts KachelX + 1 74743 KachelY + 1 54675 0.44135503 0.49859934 25.287780 28.567638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49864144-0.49859934) × R
    4.20999999999894e-05 × 6371000     		dl = 268.219099999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49864144-0.49859934) × R
    4.20999999999894e-05 × 6371000     		dr = 268.219099999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44130710-0.44135503) × cos(0.49864144) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.87823308017926 × 6371000     		do = 268.179036176545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44130710-0.44135503) × cos(0.49859934) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.878253213003859 × 6371000     		du = 268.185183976734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49864144)-sin(0.49859934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87823308017926-0.878253213003859)×R²
    abs(0.44135503-0.44130710)×2.01328245991172e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.01328245991172e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.01328245991172e-05×40589641000000     		ar = 71931.5642114617m²