Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74741 / 76708
↖ ↑ ↗
← S 29.315141°
E 25.282288°		 ← 266.31 m → S 29.315141°
E 25.285034°		 →
↑
266.31 m
↓
↑
266.31 m
↓
S 29.317536°
E 25.282288°		 ← 266.31 m →
70 920 m²		 S 29.317536°
E 25.285034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570232391357422 y=0.585239410400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570232391357422 × 217)
    floor (0.570232391357422 × 131072)
    floor (74741.5)     		tx = 74741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585239410400391 × 217)
    floor (0.585239410400391 × 131072)
    floor (76708.5)     		ty = 76708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74741 / 76708 ti = "17/74741/76708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74741/76708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74741 ÷ 217
    74741 ÷ 131072     		x = 0.570228576660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76708 ÷ 217
    76708 ÷ 131072     		y = 0.585235595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570228576660156 × 2 - 1) × π
    0.140457153320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.44125916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585235595703125 × 2 - 1) × π
    -0.17047119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.535551042555267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44125916} λ = 0.44125916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.535551042555267))-π/2
    2×atan(0.585346650344905)-π/2
    2×0.529575296150053-π/2
    1.05915059230011-1.57079632675     		φ = -0.51164573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44125916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.282288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51164573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.315141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74741 KachelY 76708 0.44125916 -0.51164573 25.282288 -29.315141
    Oben rechts KachelX + 1 74742 KachelY 76708 0.44130710 -0.51164573 25.285034 -29.315141
    Unten links KachelX 74741 KachelY + 1 76709 0.44125916 -0.51168753 25.282288 -29.317536
    Unten rechts KachelX + 1 74742 KachelY + 1 76709 0.44130710 -0.51168753 25.285034 -29.317536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51164573--0.51168753) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dl = 266.307799999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51164573--0.51168753) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dr = 266.307799999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44125916-0.44130710) × cos(-0.51164573) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.871939918185671 × 6371000     		do = 266.312894747532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44125916-0.44130710) × cos(-0.51168753) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.871919451605258 × 6371000     		du = 266.306643727064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51164573)-sin(-0.51168753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871939918185671-0.871919451605258)×R²
    abs(0.44130710-0.44125916)×2.04665804129922e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.04665804129922e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.04665804129922e-05×40589641000000     		ar = 70920.3687743676m²