Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74741 / 54681
↖ ↑ ↗
← N 28.553164°
E 25.282288°		 ← 268.28 m → N 28.553164°
E 25.285034°		 →
↑
268.28 m
↓
↑
268.28 m
↓
N 28.550751°
E 25.282288°		 ← 268.28 m →
71 975 m²		 N 28.550751°
E 25.285034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570232391357422 y=0.417186737060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570232391357422 × 217)
    floor (0.570232391357422 × 131072)
    floor (74741.5)     		tx = 74741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417186737060547 × 217)
    floor (0.417186737060547 × 131072)
    floor (54681.5)     		ty = 54681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74741 / 54681 ti = "17/74741/54681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74741/54681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74741 ÷ 217
    74741 ÷ 131072     		x = 0.570228576660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54681 ÷ 217
    54681 ÷ 131072     		y = 0.417182922363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570228576660156 × 2 - 1) × π
    0.140457153320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.44125916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417182922363281 × 2 - 1) × π
    0.165634155273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.52035504537571
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44125916} λ = 0.44125916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52035504537571))-π/2
    2×atan(1.68262495186614)-π/2
    2×1.03457152130021-π/2
    2.06914304260042-1.57079632675     		φ = 0.49834672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44125916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.282288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49834672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.553164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74741 KachelY 54681 0.44125916 0.49834672 25.282288 28.553164
    Oben rechts KachelX + 1 74742 KachelY 54681 0.44130710 0.49834672 25.285034 28.553164
    Unten links KachelX 74741 KachelY + 1 54682 0.44125916 0.49830461 25.282288 28.550751
    Unten rechts KachelX + 1 74742 KachelY + 1 54682 0.44130710 0.49830461 25.285034 28.550751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49834672-0.49830461) × R
    4.21100000000396e-05 × 6371000     		dl = 268.282810000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49834672-0.49830461) × R
    4.21100000000396e-05 × 6371000     		dr = 268.282810000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44125916-0.44130710) × cos(0.49834672) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.878373986820565 × 6371000     		do = 268.278024921556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44125916-0.44130710) × cos(0.49830461) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.878394113526672 × 6371000     		du = 268.284172135662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49834672)-sin(0.49830461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878373986820565-0.878394113526672)×R²
    abs(0.44130710-0.44125916)×2.01267061069599e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.01267061069599e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.01267061069599e-05×40589641000000     		ar = 71975.2069938275m²