Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74740 / 54678
↖ ↑ ↗
← N 28.560401°
E 25.279541°		 ← 268.26 m → N 28.560401°
E 25.282288°		 →
↑
268.22 m
↓
↑
268.22 m
↓
N 28.557989°
E 25.279541°		 ← 268.27 m →
71 953 m²		 N 28.557989°
E 25.282288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570224761962891 y=0.417163848876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570224761962891 × 217)
    floor (0.570224761962891 × 131072)
    floor (74740.5)     		tx = 74740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417163848876953 × 217)
    floor (0.417163848876953 × 131072)
    floor (54678.5)     		ty = 54678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74740 / 54678 ti = "17/74740/54678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74740/54678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74740 ÷ 217
    74740 ÷ 131072     		x = 0.570220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54678 ÷ 217
    54678 ÷ 131072     		y = 0.417160034179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570220947265625 × 2 - 1) × π
    0.14044189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44121122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417160034179688 × 2 - 1) × π
    0.165679931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.52049885607457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44121122} λ = 0.44121122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52049885607457))-π/2
    2×atan(1.68286694873684)-π/2
    2×1.03463467891796-π/2
    2.06926935783592-1.57079632675     		φ = 0.49847303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44121122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.279541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49847303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.560401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74740 KachelY 54678 0.44121122 0.49847303 25.279541 28.560401
    Oben rechts KachelX + 1 74741 KachelY 54678 0.44125916 0.49847303 25.282288 28.560401
    Unten links KachelX 74740 KachelY + 1 54679 0.44121122 0.49843093 25.279541 28.557989
    Unten rechts KachelX + 1 74741 KachelY + 1 54679 0.44125916 0.49843093 25.282288 28.557989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49847303-0.49843093) × R
    4.20999999999894e-05 × 6371000     		dl = 268.219099999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49847303-0.49843093) × R
    4.20999999999894e-05 × 6371000     		dr = 268.219099999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44121122-0.44125916) × cos(0.49847303) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.878313606918615 × 6371000     		do = 268.259583345011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44121122-0.44125916) × cos(0.49843093) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.878333733516131 × 6371000     		du = 268.265730525951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49847303)-sin(0.49843093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878313606918615-0.878333733516131)×R²
    abs(0.44125916-0.44121122)×2.01265975161569e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01265975161569e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01265975161569e-05×40589641000000     		ar = 71953.1684174252m²