Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7474 / 7405
↖ ↑ ↗
← S 80.963004°
E148.447266°		 ← 767.53 m → S 80.963004°
E148.491211°		 →
↑
767.26 m
↓
↑
767.26 m
↓
S 80.969904°
E148.447266°		 ← 766.95 m →
588 673 m²		 S 80.969904°
E148.491211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91241455078125 y=0.90399169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91241455078125 × 213)
    floor (0.91241455078125 × 8192)
    floor (7474.5)     		tx = 7474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90399169921875 × 213)
    floor (0.90399169921875 × 8192)
    floor (7405.5)     		ty = 7405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7474 / 7405 ti = "13/7474/7405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7474/7405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7474 ÷ 213
    7474 ÷ 8192     		x = 0.912353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7405 ÷ 213
    7405 ÷ 8192     		y = 0.9039306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912353515625 × 2 - 1) × π
    0.82470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59089355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9039306640625 × 2 - 1) × π
    -0.807861328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53797121348425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59089355} λ = 2.59089355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53797121348425))-π/2
    2×atan(0.0790265652949871)-π/2
    2×0.0788626668219958-π/2
    0.157725333643992-1.57079632675     		φ = -1.41307099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59089355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.447266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41307099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.963004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7474 KachelY 7405 2.59089355 -1.41307099 148.447266 -80.963004
    Oben rechts KachelX + 1 7475 KachelY 7405 2.59166054 -1.41307099 148.491211 -80.963004
    Unten links KachelX 7474 KachelY + 1 7406 2.59089355 -1.41319142 148.447266 -80.969904
    Unten rechts KachelX + 1 7475 KachelY + 1 7406 2.59166054 -1.41319142 148.491211 -80.969904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41307099--1.41319142) × R
    0.000120429999999949 × 6371000     		dl = 767.259529999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41307099--1.41319142) × R
    0.000120429999999949 × 6371000     		dr = 767.259529999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59089355-2.59166054) × cos(-1.41307099) × R
    0.000766989999999801 × 0.157072186810768 × 6371000     		do = 767.532186896247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59089355-2.59166054) × cos(-1.41319142) × R
    0.000766989999999801 × 0.156953250554634 × 6371000     		du = 766.951005678711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41307099)-sin(-1.41319142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157072186810768-0.156953250554634)×R²
    abs(2.59166054-2.59089355)×0.000118936256133989×R²
    0.000766989999999801×0.000118936256133989×6371000²
    0.000766989999999801×0.000118936256133989×40589641000000     		ar = 588673.427273203m²