Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7474 / 7402
↖ ↑ ↗
← S 80.942273°
E148.447266°		 ← 769.28 m → S 80.942273°
E148.491211°		 →
↑
768.98 m
↓
↑
768.98 m
↓
S 80.949188°
E148.447266°		 ← 768.70 m →
591 335 m²		 S 80.949188°
E148.491211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91241455078125 y=0.90362548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91241455078125 × 213)
    floor (0.91241455078125 × 8192)
    floor (7474.5)     		tx = 7474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90362548828125 × 213)
    floor (0.90362548828125 × 8192)
    floor (7402.5)     		ty = 7402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7474 / 7402 ti = "13/7474/7402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7474/7402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7474 ÷ 213
    7474 ÷ 8192     		x = 0.912353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7402 ÷ 213
    7402 ÷ 8192     		y = 0.903564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912353515625 × 2 - 1) × π
    0.82470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59089355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903564453125 × 2 - 1) × π
    -0.80712890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53567024230249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59089355} λ = 2.59089355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53567024230249))-π/2
    2×atan(0.0792086125066982)-π/2
    2×0.0790435815804868-π/2
    0.158087163160974-1.57079632675     		φ = -1.41270916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59089355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.447266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41270916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.942273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7474 KachelY 7402 2.59089355 -1.41270916 148.447266 -80.942273
    Oben rechts KachelX + 1 7475 KachelY 7402 2.59166054 -1.41270916 148.491211 -80.942273
    Unten links KachelX 7474 KachelY + 1 7403 2.59089355 -1.41282986 148.447266 -80.949188
    Unten rechts KachelX + 1 7475 KachelY + 1 7403 2.59166054 -1.41282986 148.491211 -80.949188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41270916--1.41282986) × R
    0.000120700000000085 × 6371000     		dl = 768.979700000539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41270916--1.41282986) × R
    0.000120700000000085 × 6371000     		dr = 768.979700000539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59089355-2.59166054) × cos(-1.41270916) × R
    0.000766989999999801 × 0.157429515170146 × 6371000     		do = 769.278269526671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59089355-2.59166054) × cos(-1.41282986) × R
    0.000766989999999801 × 0.157310319125372 × 6371000     		du = 768.695818853689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41270916)-sin(-1.41282986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157429515170146-0.157310319125372)×R²
    abs(2.59166054-2.59089355)×0.00011919604477395×R²
    0.000766989999999801×0.00011919604477395×6371000²
    0.000766989999999801×0.00011919604477395×40589641000000     		ar = 591335.427265724m²