Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7474 / 4444
↖ ↑ ↗
← N 63.273182°
W 15.776367°		 ← 1 098.80 m → N 63.273182°
W 15.754395°		 →
↑
1 099 m
↓
↑
1 099 m
↓
N 63.263299°
W 15.776367°		 ← 1 099.18 m →
1 207 790 m²		 N 63.263299°
W 15.754395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456207275390625 y=0.271270751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456207275390625 × 214)
    floor (0.456207275390625 × 16384)
    floor (7474.5)     		tx = 7474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271270751953125 × 214)
    floor (0.271270751953125 × 16384)
    floor (4444.5)     		ty = 4444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7474 / 4444 ti = "14/7474/4444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7474/4444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7474 ÷ 214
    7474 ÷ 16384     		x = 0.4561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4444 ÷ 214
    4444 ÷ 16384     		y = 0.271240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27534955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271240234375 × 2 - 1) × π
    0.45751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43733999820776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27534955} λ = -0.27534955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43733999820776))-π/2
    2×atan(4.20948367732573)-π/2
    2×1.33756084196913-π/2
    2.67512168393826-1.57079632675     		φ = 1.10432536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27534955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.776367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10432536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.273182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7474 KachelY 4444 -0.27534955 1.10432536 -15.776367 63.273182
    Oben rechts KachelX + 1 7475 KachelY 4444 -0.27496606 1.10432536 -15.754395 63.273182
    Unten links KachelX 7474 KachelY + 1 4445 -0.27534955 1.10415286 -15.776367 63.263299
    Unten rechts KachelX + 1 7475 KachelY + 1 4445 -0.27496606 1.10415286 -15.754395 63.263299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10432536-1.10415286) × R
    0.000172500000000131 × 6371000     		dl = 1098.99750000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10432536-1.10415286) × R
    0.000172500000000131 × 6371000     		dr = 1098.99750000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27534955--0.27496606) × cos(1.10432536) × R
    0.000383489999999986 × 0.449737097679231 × 6371000     		do = 1098.80432866153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27534955--0.27496606) × cos(1.10415286) × R
    0.000383489999999986 × 0.449891161256927 × 6371000     		du = 1099.18073907316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10432536)-sin(1.10415286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449737097679231-0.449891161256927)×R²
    abs(-0.27496606--0.27534955)×0.000154063577695651×R²
    0.000383489999999986×0.000154063577695651×6371000²
    0.000383489999999986×0.000154063577695651×40589641000000     		ar = 1207790.05023348m²