Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7474 / 10641
↖ ↑ ↗
← S 47.294134°
W 15.776367°		 ← 1 657.07 m → S 47.294134°
W 15.754395°		 →
↑
1 656.84 m
↓
↑
1 656.84 m
↓
S 47.309034°
W 15.776367°		 ← 1 656.61 m →
2 745 123 m²		 S 47.309034°
W 15.754395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456207275390625 y=0.649505615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456207275390625 × 214)
    floor (0.456207275390625 × 16384)
    floor (7474.5)     		tx = 7474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649505615234375 × 214)
    floor (0.649505615234375 × 16384)
    floor (10641.5)     		ty = 10641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7474 / 10641 ti = "14/7474/10641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7474/10641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7474 ÷ 214
    7474 ÷ 16384     		x = 0.4561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10641 ÷ 214
    10641 ÷ 16384     		y = 0.64947509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27534955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64947509765625 × 2 - 1) × π
    -0.2989501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.93917973735614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27534955} λ = -0.27534955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.93917973735614))-π/2
    2×atan(0.390948384228676)-π/2
    2×0.372678988216592-π/2
    0.745357976433184-1.57079632675     		φ = -0.82543835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27534955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.776367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82543835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.294134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7474 KachelY 10641 -0.27534955 -0.82543835 -15.776367 -47.294134
    Oben rechts KachelX + 1 7475 KachelY 10641 -0.27496606 -0.82543835 -15.754395 -47.294134
    Unten links KachelX 7474 KachelY + 1 10642 -0.27534955 -0.82569841 -15.776367 -47.309034
    Unten rechts KachelX + 1 7475 KachelY + 1 10642 -0.27496606 -0.82569841 -15.754395 -47.309034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82543835--0.82569841) × R
    0.000260060000000006 × 6371000     		dl = 1656.84226000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82543835--0.82569841) × R
    0.000260060000000006 × 6371000     		dr = 1656.84226000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27534955--0.27496606) × cos(-0.82543835) × R
    0.000383489999999986 × 0.678234911421199 × 6371000     		do = 1657.07356667855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27534955--0.27496606) × cos(-0.82569841) × R
    0.000383489999999986 × 0.678043784656874 × 6371000     		du = 1656.60660294119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82543835)-sin(-0.82569841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678234911421199-0.678043784656874)×R²
    abs(-0.27496606--0.27534955)×0.000191126764325755×R²
    0.000383489999999986×0.000191126764325755×6371000²
    0.000383489999999986×0.000191126764325755×40589641000000     		ar = 2745122.68604629m²