Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7474 / 10362
↖ ↑ ↗
← S 42.972502°
W 15.776367°		 ← 1 787.65 m → S 42.972502°
W 15.754395°		 →
↑
1 787.45 m
↓
↑
1 787.45 m
↓
S 42.988576°
W 15.776367°		 ← 1 787.19 m →
3 194 920 m²		 S 42.988576°
W 15.754395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456207275390625 y=0.632476806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456207275390625 × 214)
    floor (0.456207275390625 × 16384)
    floor (7474.5)     		tx = 7474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632476806640625 × 214)
    floor (0.632476806640625 × 16384)
    floor (10362.5)     		ty = 10362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7474 / 10362 ti = "14/7474/10362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7474/10362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7474 ÷ 214
    7474 ÷ 16384     		x = 0.4561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10362 ÷ 214
    10362 ÷ 16384     		y = 0.6324462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27534955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6324462890625 × 2 - 1) × π
    -0.264892578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.832184577404175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27534955} λ = -0.27534955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.832184577404175))-π/2
    2×atan(0.435097742642369)-π/2
    2×0.410392343158831-π/2
    0.820784686317662-1.57079632675     		φ = -0.75001164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27534955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.776367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75001164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.972502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7474 KachelY 10362 -0.27534955 -0.75001164 -15.776367 -42.972502
    Oben rechts KachelX + 1 7475 KachelY 10362 -0.27496606 -0.75001164 -15.754395 -42.972502
    Unten links KachelX 7474 KachelY + 1 10363 -0.27534955 -0.75029220 -15.776367 -42.988576
    Unten rechts KachelX + 1 7475 KachelY + 1 10363 -0.27496606 -0.75029220 -15.754395 -42.988576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75001164--0.75029220) × R
    0.000280559999999985 × 6371000     		dl = 1787.44775999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75001164--0.75029220) × R
    0.000280559999999985 × 6371000     		dr = 1787.44775999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27534955--0.27496606) × cos(-0.75001164) × R
    0.000383489999999986 × 0.731680934549086 × 6371000     		do = 1787.65368085129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27534955--0.27496606) × cos(-0.75029220) × R
    0.000383489999999986 × 0.731489662794871 × 6371000     		du = 1787.18636287248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75001164)-sin(-0.75029220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731680934549086-0.731489662794871)×R²
    abs(-0.27496606--0.27534955)×0.00019127175421485×R²
    0.000383489999999986×0.00019127175421485×6371000²
    0.000383489999999986×0.00019127175421485×40589641000000     		ar = 3194919.93521393m²