Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74739 / 54683
↖ ↑ ↗
← N 28.548338°
E 25.276795°		 ← 268.23 m → N 28.548338°
E 25.279541°		 →
↑
268.28 m
↓
↑
268.28 m
↓
N 28.545926°
E 25.276795°		 ← 268.24 m →
71 963 m²		 N 28.545926°
E 25.279541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570217132568359 y=0.417201995849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570217132568359 × 217)
    floor (0.570217132568359 × 131072)
    floor (74739.5)     		tx = 74739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417201995849609 × 217)
    floor (0.417201995849609 × 131072)
    floor (54683.5)     		ty = 54683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74739 / 54683 ti = "17/74739/54683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74739/54683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74739 ÷ 217
    74739 ÷ 131072     		x = 0.570213317871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54683 ÷ 217
    54683 ÷ 131072     		y = 0.417198181152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570213317871094 × 2 - 1) × π
    0.140426635742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.44116329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417198181152344 × 2 - 1) × π
    0.165603637695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.520259171576469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44116329} λ = 0.44116329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.520259171576469))-π/2
    2×atan(1.68246363995222)-π/2
    2×1.03452941380975-π/2
    2.06905882761949-1.57079632675     		φ = 0.49826250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44116329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.276795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49826250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.548338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74739 KachelY 54683 0.44116329 0.49826250 25.276795 28.548338
    Oben rechts KachelX + 1 74740 KachelY 54683 0.44121122 0.49826250 25.279541 28.548338
    Unten links KachelX 74739 KachelY + 1 54684 0.44116329 0.49822039 25.276795 28.545926
    Unten rechts KachelX + 1 74740 KachelY + 1 54684 0.44121122 0.49822039 25.279541 28.545926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49826250-0.49822039) × R
    4.21099999999841e-05 × 6371000     		dl = 268.282809999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49826250-0.49822039) × R
    4.21099999999841e-05 × 6371000     		dr = 268.282809999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44116329-0.44121122) × cos(0.49826250) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.878414238675165 × 6371000     		do = 268.234355102917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44116329-0.44121122) × cos(0.49822039) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.878434362266007 × 6371000     		du = 268.240500083468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49826250)-sin(0.49822039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878414238675165-0.878434362266007)×R²
    abs(0.44121122-0.44116329)×2.01235908429132e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.01235908429132e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.01235908429132e-05×40589641000000     		ar = 71963.4908324801m²