Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74739 / 54682
↖ ↑ ↗
← N 28.550751°
E 25.276795°		 ← 268.23 m → N 28.550751°
E 25.279541°		 →
↑
268.28 m
↓
↑
268.28 m
↓
N 28.548338°
E 25.276795°		 ← 268.23 m →
71 962 m²		 N 28.548338°
E 25.279541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570217132568359 y=0.417194366455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570217132568359 × 217)
    floor (0.570217132568359 × 131072)
    floor (74739.5)     		tx = 74739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417194366455078 × 217)
    floor (0.417194366455078 × 131072)
    floor (54682.5)     		ty = 54682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74739 / 54682 ti = "17/74739/54682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74739/54682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74739 ÷ 217
    74739 ÷ 131072     		x = 0.570213317871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54682 ÷ 217
    54682 ÷ 131072     		y = 0.417190551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570213317871094 × 2 - 1) × π
    0.140426635742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.44116329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417190551757812 × 2 - 1) × π
    0.165618896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.52030710847609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44116329} λ = 0.44116329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52030710847609))-π/2
    2×atan(1.68254429397598)-π/2
    2×1.03455046779616-π/2
    2.06910093559232-1.57079632675     		φ = 0.49830461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44116329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.276795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49830461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.550751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74739 KachelY 54682 0.44116329 0.49830461 25.276795 28.550751
    Oben rechts KachelX + 1 74740 KachelY 54682 0.44121122 0.49830461 25.279541 28.550751
    Unten links KachelX 74739 KachelY + 1 54683 0.44116329 0.49826250 25.276795 28.548338
    Unten rechts KachelX + 1 74740 KachelY + 1 54683 0.44121122 0.49826250 25.279541 28.548338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49830461-0.49826250) × R
    4.21099999999841e-05 × 6371000     		dl = 268.282809999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49830461-0.49826250) × R
    4.21099999999841e-05 × 6371000     		dr = 268.282809999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44116329-0.44121122) × cos(0.49830461) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.878394113526672 × 6371000     		do = 268.228209646719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44116329-0.44121122) × cos(0.49826250) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.878414238675165 × 6371000     		du = 268.234355102917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49830461)-sin(0.49826250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878394113526672-0.878414238675165)×R²
    abs(0.44121122-0.44116329)×2.01251484927001e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.01251484927001e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.01251484927001e-05×40589641000000     		ar = 71961.8421759783m²