Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74738 / 54675
↖ ↑ ↗
← N 28.567638°
E 25.274048°		 ← 268.24 m → N 28.567638°
E 25.276795°		 →
↑
268.22 m
↓
↑
268.22 m
↓
N 28.565226°
E 25.274048°		 ← 268.25 m →
71 948 m²		 N 28.565226°
E 25.276795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570209503173828 y=0.417140960693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570209503173828 × 217)
    floor (0.570209503173828 × 131072)
    floor (74738.5)     		tx = 74738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417140960693359 × 217)
    floor (0.417140960693359 × 131072)
    floor (54675.5)     		ty = 54675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74738 / 54675 ti = "17/74738/54675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74738/54675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74738 ÷ 217
    74738 ÷ 131072     		x = 0.570205688476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54675 ÷ 217
    54675 ÷ 131072     		y = 0.417137145996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570205688476562 × 2 - 1) × π
    0.140411376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44111535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417137145996094 × 2 - 1) × π
    0.165725708007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.52064266677343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44111535} λ = 0.44111535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52064266677343))-π/2
    2×atan(1.68310898041178)-π/2
    2×1.03469783219353-π/2
    2.06939566438707-1.57079632675     		φ = 0.49859934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44111535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.274048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49859934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.567638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74738 KachelY 54675 0.44111535 0.49859934 25.274048 28.567638
    Oben rechts KachelX + 1 74739 KachelY 54675 0.44116329 0.49859934 25.276795 28.567638
    Unten links KachelX 74738 KachelY + 1 54676 0.44111535 0.49855724 25.274048 28.565226
    Unten rechts KachelX + 1 74739 KachelY + 1 54676 0.44116329 0.49855724 25.276795 28.565226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49859934-0.49855724) × R
    4.20999999999894e-05 × 6371000     		dl = 268.219099999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49859934-0.49855724) × R
    4.20999999999894e-05 × 6371000     		dr = 268.219099999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44111535-0.44116329) × cos(0.49859934) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.878253213003859 × 6371000     		do = 268.241137488905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44111535-0.44116329) × cos(0.49855724) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.878273344271834 × 6371000     		du = 268.247286096324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49859934)-sin(0.49855724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878253213003859-0.878273344271834)×R²
    abs(0.44116329-0.44111535)×2.01312679742882e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01312679742882e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01312679742882e-05×40589641000000     		ar = 71948.2210778025m²