Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74736 / 54800
↖ ↑ ↗
← N 28.265682°
E 25.268555°		 ← 268.95 m → N 28.265682°
E 25.271301°		 →
↑
268.98 m
↓
↑
268.98 m
↓
N 28.263263°
E 25.268555°		 ← 268.96 m →
72 344 m²		 N 28.263263°
E 25.271301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570194244384766 y=0.418094635009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570194244384766 × 217)
    floor (0.570194244384766 × 131072)
    floor (74736.5)     		tx = 74736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418094635009766 × 217)
    floor (0.418094635009766 × 131072)
    floor (54800.5)     		ty = 54800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74736 / 54800 ti = "17/74736/54800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74736/54800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74736 ÷ 217
    74736 ÷ 131072     		x = 0.5701904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54800 ÷ 217
    54800 ÷ 131072     		y = 0.4180908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5701904296875 × 2 - 1) × π
    0.140380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44101948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4180908203125 × 2 - 1) × π
    0.163818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.514650554320923
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44101948} λ = 0.44101948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.514650554320923))-π/2
    2×atan(1.67305375822875)-π/2
    2×1.03206277490649-π/2
    2.06412554981298-1.57079632675     		φ = 0.49332922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44101948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.268555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49332922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.265682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74736 KachelY 54800 0.44101948 0.49332922 25.268555 28.265682
    Oben rechts KachelX + 1 74737 KachelY 54800 0.44106741 0.49332922 25.271301 28.265682
    Unten links KachelX 74736 KachelY + 1 54801 0.44101948 0.49328700 25.268555 28.263263
    Unten rechts KachelX + 1 74737 KachelY + 1 54801 0.44106741 0.49328700 25.271301 28.263263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49332922-0.49328700) × R
    4.22200000000372e-05 × 6371000     		dl = 268.983620000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49332922-0.49328700) × R
    4.22200000000372e-05 × 6371000     		dr = 268.983620000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44101948-0.44106741) × cos(0.49332922) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.880761154630661 × 6371000     		do = 268.951014123016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44101948-0.44106741) × cos(0.49328700) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.880781147580732 × 6371000     		du = 268.957119210835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49332922)-sin(0.49328700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880761154630661-0.880781147580732)×R²
    abs(0.44106741-0.44101948)×1.99929500711571e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.99929500711571e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.99929500711571e-05×40589641000000     		ar = 72344.2384766075m²