Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74735 / 54671
↖ ↑ ↗
← N 28.577286°
E 25.265808°		 ← 268.22 m → N 28.577286°
E 25.268555°		 →
↑
268.16 m
↓
↑
268.16 m
↓
N 28.574874°
E 25.265808°		 ← 268.22 m →
71 925 m²		 N 28.574874°
E 25.268555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570186614990234 y=0.417110443115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570186614990234 × 217)
    floor (0.570186614990234 × 131072)
    floor (74735.5)     		tx = 74735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417110443115234 × 217)
    floor (0.417110443115234 × 131072)
    floor (54671.5)     		ty = 54671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74735 / 54671 ti = "17/74735/54671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74735/54671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74735 ÷ 217
    74735 ÷ 131072     		x = 0.570182800292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54671 ÷ 217
    54671 ÷ 131072     		y = 0.417106628417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570182800292969 × 2 - 1) × π
    0.140365600585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.44097154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417106628417969 × 2 - 1) × π
    0.165786743164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.52083441437191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44097154} λ = 0.44097154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52083441437191))-π/2
    2×atan(1.68343174346029)-π/2
    2×1.03478202980525-π/2
    2.0695640596105-1.57079632675     		φ = 0.49876773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44097154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.265808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49876773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.577286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74735 KachelY 54671 0.44097154 0.49876773 25.265808 28.577286
    Oben rechts KachelX + 1 74736 KachelY 54671 0.44101948 0.49876773 25.268555 28.577286
    Unten links KachelX 74735 KachelY + 1 54672 0.44097154 0.49872564 25.265808 28.574874
    Unten rechts KachelX + 1 74736 KachelY + 1 54672 0.44101948 0.49872564 25.268555 28.574874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49876773-0.49872564) × R
    4.20899999999946e-05 × 6371000     		dl = 268.155389999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49876773-0.49872564) × R
    4.20899999999946e-05 × 6371000     		dr = 268.155389999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44097154-0.44101948) × cos(0.49876773) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.878172677149509 × 6371000     		do = 268.216539766304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44097154-0.44101948) × cos(0.49872564) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.87819280986033 × 6371000     		du = 268.222688814405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49876773)-sin(0.49872564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878172677149509-0.87819280986033)×R²
    abs(0.44101948-0.44097154)×2.01327108216853e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.01327108216853e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.01327108216853e-05×40589641000000     		ar = 71924.535286296m²