Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74734 / 56006
↖ ↑ ↗
← N 25.309270°
E 25.263061°		 ← 276.11 m → N 25.309270°
E 25.265808°		 →
↑
276.12 m
↓
↑
276.12 m
↓
N 25.306787°
E 25.263061°		 ← 276.11 m →
76 240 m²		 N 25.306787°
E 25.265808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570178985595703 y=0.427295684814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570178985595703 × 217)
    floor (0.570178985595703 × 131072)
    floor (74734.5)     		tx = 74734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427295684814453 × 217)
    floor (0.427295684814453 × 131072)
    floor (56006.5)     		ty = 56006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74734 / 56006 ti = "17/74734/56006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74734/56006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74734 ÷ 217
    74734 ÷ 131072     		x = 0.570175170898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56006 ÷ 217
    56006 ÷ 131072     		y = 0.427291870117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570175170898438 × 2 - 1) × π
    0.140350341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44092360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427291870117188 × 2 - 1) × π
    0.145416259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.456838653379135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44092360} λ = 0.44092360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.456838653379135))-π/2
    2×atan(1.57907408542675)-π/2
    2×1.00626320768586-π/2
    2.01252641537171-1.57079632675     		φ = 0.44173009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44092360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.263061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44173009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.309270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74734 KachelY 56006 0.44092360 0.44173009 25.263061 25.309270
    Oben rechts KachelX + 1 74735 KachelY 56006 0.44097154 0.44173009 25.265808 25.309270
    Unten links KachelX 74734 KachelY + 1 56007 0.44092360 0.44168675 25.263061 25.306787
    Unten rechts KachelX + 1 74735 KachelY + 1 56007 0.44097154 0.44168675 25.265808 25.306787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44173009-0.44168675) × R
    4.33400000000028e-05 × 6371000     		dl = 276.119140000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44173009-0.44168675) × R
    4.33400000000028e-05 × 6371000     		dr = 276.119140000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44092360-0.44097154) × cos(0.44173009) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.904013395922308 × 6371000     		do = 276.108960419303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44092360-0.44097154) × cos(0.44168675) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.904031923102208 × 6371000     		du = 276.114619096934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44173009)-sin(0.44168675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904013395922308-0.904031923102208)×R²
    abs(0.44097154-0.44092360)×1.85271798994746e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85271798994746e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85271798994746e-05×40589641000000     		ar = 76239.7499438183m²