Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74734 / 54766
↖ ↑ ↗
← N 28.347899°
E 25.263061°		 ← 268.80 m → N 28.347899°
E 25.265808°		 →
↑
268.79 m
↓
↑
268.79 m
↓
N 28.345482°
E 25.263061°		 ← 268.81 m →
72 252 m²		 N 28.345482°
E 25.265808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570178985595703 y=0.417835235595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570178985595703 × 217)
    floor (0.570178985595703 × 131072)
    floor (74734.5)     		tx = 74734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417835235595703 × 217)
    floor (0.417835235595703 × 131072)
    floor (54766.5)     		ty = 54766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74734 / 54766 ti = "17/74734/54766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74734/54766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74734 ÷ 217
    74734 ÷ 131072     		x = 0.570175170898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54766 ÷ 217
    54766 ÷ 131072     		y = 0.417831420898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570175170898438 × 2 - 1) × π
    0.140350341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44092360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417831420898438 × 2 - 1) × π
    0.164337158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.516280408908005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44092360} λ = 0.44092360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.516280408908005))-π/2
    2×atan(1.67578281595052)-π/2
    2×1.03278025403952-π/2
    2.06556050807904-1.57079632675     		φ = 0.49476418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44092360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.263061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49476418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.347899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74734 KachelY 54766 0.44092360 0.49476418 25.263061 28.347899
    Oben rechts KachelX + 1 74735 KachelY 54766 0.44097154 0.49476418 25.265808 28.347899
    Unten links KachelX 74734 KachelY + 1 54767 0.44092360 0.49472199 25.263061 28.345482
    Unten rechts KachelX + 1 74735 KachelY + 1 54767 0.44097154 0.49472199 25.265808 28.345482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49476418-0.49472199) × R
    4.21899999999975e-05 × 6371000     		dl = 268.792489999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49476418-0.49472199) × R
    4.21899999999975e-05 × 6371000     		dr = 268.792489999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44092360-0.44097154) × cos(0.49476418) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880080707331167 × 6371000     		do = 268.799301296169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44092360-0.44097154) × cos(0.49472199) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880100739377676 × 6371000     		du = 268.805419598797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49476418)-sin(0.49472199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880080707331167-0.880100739377676)×R²
    abs(0.44097154-0.44092360)×2.0032046508911e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0032046508911e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0032046508911e-05×40589641000000     		ar = 72252.0557933525m²