Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74733 / 55667
↖ ↑ ↗
← N 26.148042°
E 25.260315°		 ← 274.11 m → N 26.148042°
E 25.263061°		 →
↑
274.14 m
↓
↑
274.14 m
↓
N 26.145576°
E 25.260315°		 ← 274.12 m →
75 147 m²		 N 26.145576°
E 25.263061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570171356201172 y=0.424709320068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570171356201172 × 217)
    floor (0.570171356201172 × 131072)
    floor (74733.5)     		tx = 74733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424709320068359 × 217)
    floor (0.424709320068359 × 131072)
    floor (55667.5)     		ty = 55667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74733 / 55667 ti = "17/74733/55667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74733/55667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74733 ÷ 217
    74733 ÷ 131072     		x = 0.570167541503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55667 ÷ 217
    55667 ÷ 131072     		y = 0.424705505371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570167541503906 × 2 - 1) × π
    0.140335083007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.44087567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424705505371094 × 2 - 1) × π
    0.150588989257812 × 3.1415926535     		Φ = 0.473089262350334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44087567} λ = 0.44087567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.473089262350334))-π/2
    2×atan(1.60494463771305)-π/2
    2×1.01358287392518-π/2
    2.02716574785037-1.57079632675     		φ = 0.45636942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44087567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.260315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45636942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.148042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74733 KachelY 55667 0.44087567 0.45636942 25.260315 26.148042
    Oben rechts KachelX + 1 74734 KachelY 55667 0.44092360 0.45636942 25.263061 26.148042
    Unten links KachelX 74733 KachelY + 1 55668 0.44087567 0.45632639 25.260315 26.145576
    Unten rechts KachelX + 1 74734 KachelY + 1 55668 0.44092360 0.45632639 25.263061 26.145576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45636942-0.45632639) × R
    4.30299999999995e-05 × 6371000     		dl = 274.144129999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45636942-0.45632639) × R
    4.30299999999995e-05 × 6371000     		dr = 274.144129999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44087567-0.44092360) × cos(0.45636942) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.897658377625562 × 6371000     		do = 274.110784438416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44087567-0.44092360) × cos(0.45632639) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.897677339771186 × 6371000     		du = 274.116574757697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45636942)-sin(0.45632639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897658377625562-0.897677339771186)×R²
    abs(0.44092360-0.44087567)×1.8962145623358e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.8962145623358e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.8962145623358e-05×40589641000000     		ar = 75146.6562260477m²