Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74732 / 54772
↖ ↑ ↗
← N 28.333395°
E 25.257568°		 ← 268.84 m → N 28.333395°
E 25.260315°		 →
↑
268.79 m
↓
↑
268.79 m
↓
N 28.330978°
E 25.257568°		 ← 268.84 m →
72 262 m²		 N 28.330978°
E 25.260315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570163726806641 y=0.417881011962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570163726806641 × 217)
    floor (0.570163726806641 × 131072)
    floor (74732.5)     		tx = 74732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417881011962891 × 217)
    floor (0.417881011962891 × 131072)
    floor (54772.5)     		ty = 54772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74732 / 54772 ti = "17/74732/54772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74732/54772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74732 ÷ 217
    74732 ÷ 131072     		x = 0.570159912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54772 ÷ 217
    54772 ÷ 131072     		y = 0.417877197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570159912109375 × 2 - 1) × π
    0.14031982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44082773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417877197265625 × 2 - 1) × π
    0.16424560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.515992787510284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44082773} λ = 0.44082773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515992787510284))-π/2
    2×atan(1.67530089426354)-π/2
    2×1.03265368037652-π/2
    2.06530736075305-1.57079632675     		φ = 0.49451103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44082773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.257568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49451103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.333395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74732 KachelY 54772 0.44082773 0.49451103 25.257568 28.333395
    Oben rechts KachelX + 1 74733 KachelY 54772 0.44087567 0.49451103 25.260315 28.333395
    Unten links KachelX 74732 KachelY + 1 54773 0.44082773 0.49446884 25.257568 28.330978
    Unten rechts KachelX + 1 74733 KachelY + 1 54773 0.44087567 0.49446884 25.260315 28.330978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49451103-0.49446884) × R
    4.21899999999975e-05 × 6371000     		dl = 268.792489999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49451103-0.49446884) × R
    4.21899999999975e-05 × 6371000     		dr = 268.792489999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44082773-0.44087567) × cos(0.49451103) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.880200880856882 × 6371000     		do = 268.8360053845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44082773-0.44087567) × cos(0.49446884) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.88022090350303 × 6371000     		du = 268.842120816016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49451103)-sin(0.49446884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880200880856882-0.88022090350303)×R²
    abs(0.44087567-0.44082773)×2.00226461474218e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.00226461474218e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.00226461474218e-05×40589641000000     		ar = 72261.9211906932m²