Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7473 / 7403
↖ ↑ ↗
← S 80.949188°
E148.403320°		 ← 768.70 m → S 80.949188°
E148.447266°		 →
↑
768.41 m
↓
↑
768.41 m
↓
S 80.956099°
E148.403320°		 ← 768.11 m →
590 447 m²		 S 80.956099°
E148.447266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91229248046875 y=0.90374755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91229248046875 × 213)
    floor (0.91229248046875 × 8192)
    floor (7473.5)     		tx = 7473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90374755859375 × 213)
    floor (0.90374755859375 × 8192)
    floor (7403.5)     		ty = 7403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7473 / 7403 ti = "13/7473/7403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7473/7403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7473 ÷ 213
    7473 ÷ 8192     		x = 0.9122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7403 ÷ 213
    7403 ÷ 8192     		y = 0.9036865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9122314453125 × 2 - 1) × π
    0.824462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59012656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9036865234375 × 2 - 1) × π
    -0.807373046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.53643723269641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59012656} λ = 2.59012656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53643723269641))-π/2
    2×atan(0.0791478835540285)-π/2
    2×0.0789832309775312-π/2
    0.157966461955062-1.57079632675     		φ = -1.41282986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59012656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.403320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41282986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.949188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7473 KachelY 7403 2.59012656 -1.41282986 148.403320 -80.949188
    Oben rechts KachelX + 1 7474 KachelY 7403 2.59089355 -1.41282986 148.447266 -80.949188
    Unten links KachelX 7473 KachelY + 1 7404 2.59012656 -1.41295047 148.403320 -80.956099
    Unten rechts KachelX + 1 7474 KachelY + 1 7404 2.59089355 -1.41295047 148.447266 -80.956099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41282986--1.41295047) × R
    0.000120609999999965 × 6371000     		dl = 768.40630999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41282986--1.41295047) × R
    0.000120609999999965 × 6371000     		dr = 768.40630999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59012656-2.59089355) × cos(-1.41282986) × R
    0.000766990000000245 × 0.157310319125372 × 6371000     		do = 768.695818854134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59012656-2.59089355) × cos(-1.41295047) × R
    0.000766990000000245 × 0.157191209669962 × 6371000     		du = 768.113791299496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41282986)-sin(-1.41295047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157310319125372-0.157191209669962)×R²
    abs(2.59089355-2.59012656)×0.000119109455410216×R²
    0.000766990000000245×0.000119109455410216×6371000²
    0.000766990000000245×0.000119109455410216×40589641000000     		ar = 590447.101570021m²