Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7473 / 5453
↖ ↑ ↗
← N 75.981539°
W 97.899170°		 ← 295.92 m → N 75.981539°
W 97.888183°		 →
↑
296 m
↓
↑
296 m
↓
N 75.978877°
W 97.899170°		 ← 295.98 m →
87 600 m²		 N 75.978877°
W 97.888183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228073120117188 y=0.166427612304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228073120117188 × 215)
    floor (0.228073120117188 × 32768)
    floor (7473.5)     		tx = 7473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166427612304688 × 215)
    floor (0.166427612304688 × 32768)
    floor (5453.5)     		ty = 5453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7473 / 5453 ti = "15/7473/5453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7473/5453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7473 ÷ 215
    7473 ÷ 32768     		x = 0.228057861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5453 ÷ 215
    5453 ÷ 32768     		y = 0.166412353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228057861328125 × 2 - 1) × π
    -0.54388427734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.70866285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166412353515625 × 2 - 1) × π
    0.66717529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09599299898734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70866285} λ = -1.70866285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09599299898734))-π/2
    2×atan(8.13351353222733)-π/2
    2×1.44846217640426-π/2
    2.89692435280853-1.57079632675     		φ = 1.32612803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70866285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.899170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32612803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.981539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7473 KachelY 5453 -1.70866285 1.32612803 -97.899170 75.981539
    Oben rechts KachelX + 1 7474 KachelY 5453 -1.70847110 1.32612803 -97.888183 75.981539
    Unten links KachelX 7473 KachelY + 1 5454 -1.70866285 1.32608157 -97.899170 75.978877
    Unten rechts KachelX + 1 7474 KachelY + 1 5454 -1.70847110 1.32608157 -97.888183 75.978877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32612803-1.32608157) × R
    4.64600000000814e-05 × 6371000     		dl = 295.996660000519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32612803-1.32608157) × R
    4.64600000000814e-05 × 6371000     		dr = 295.996660000519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70866285--1.70847110) × cos(1.32612803) × R
    0.000191750000000157 × 0.242234513790515 × 6371000     		do = 295.923189751402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70866285--1.70847110) × cos(1.32608157) × R
    0.000191750000000157 × 0.242279589844721 × 6371000     		du = 295.978256428455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32612803)-sin(1.32608157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242234513790515-0.242279589844721)×R²
    abs(-1.70847110--1.70866285)×4.5076054205756e-05×R²
    0.000191750000000157×4.5076054205756e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.5076054205756e-05×40589641000000     		ar = 87600.4255748865m²