Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7473 / 4273
↖ ↑ ↗
← N 64.914227°
W 15.798340°		 ← 1 035.89 m → N 64.914227°
W 15.776367°		 →
↑
1 036.05 m
↓
↑
1 036.05 m
↓
N 64.904910°
W 15.798340°		 ← 1 036.25 m →
1 073 420 m²		 N 64.904910°
W 15.776367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456146240234375 y=0.260833740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456146240234375 × 214)
    floor (0.456146240234375 × 16384)
    floor (7473.5)     		tx = 7473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260833740234375 × 214)
    floor (0.260833740234375 × 16384)
    floor (4273.5)     		ty = 4273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7473 / 4273 ti = "14/7473/4273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7473/4273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7473 ÷ 214
    7473 ÷ 16384     		x = 0.45611572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4273 ÷ 214
    4273 ÷ 16384     		y = 0.26080322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45611572265625 × 2 - 1) × π
    -0.0877685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27573305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26080322265625 × 2 - 1) × π
    0.4783935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.502917676888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27573305} λ = -0.27573305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.502917676888))-π/2
    2×atan(4.49478428547128)-π/2
    2×1.35188166414108-π/2
    2.70376332828216-1.57079632675     		φ = 1.13296700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27573305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.798340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13296700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.914227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7473 KachelY 4273 -0.27573305 1.13296700 -15.798340 64.914227
    Oben rechts KachelX + 1 7474 KachelY 4273 -0.27534955 1.13296700 -15.776367 64.914227
    Unten links KachelX 7473 KachelY + 1 4274 -0.27573305 1.13280438 -15.798340 64.904910
    Unten rechts KachelX + 1 7474 KachelY + 1 4274 -0.27534955 1.13280438 -15.776367 64.904910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13296700-1.13280438) × R
    0.000162620000000002 × 6371000     		dl = 1036.05202000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13296700-1.13280438) × R
    0.000162620000000002 × 6371000     		dr = 1036.05202000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27573305--0.27534955) × cos(1.13296700) × R
    0.000383499999999981 × 0.423974542940537 × 6371000     		do = 1035.88788531389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27573305--0.27534955) × cos(1.13280438) × R
    0.000383499999999981 × 0.424121818057005 × 6371000     		du = 1036.24771943954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13296700)-sin(1.13280438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423974542940537-0.424121818057005)×R²
    abs(-0.27534955--0.27573305)×0.000147275116468337×R²
    0.000383499999999981×0.000147275116468337×6371000²
    0.000383499999999981×0.000147275116468337×40589641000000     		ar = 1073420.14187507m²