Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74729 / 54773
↖ ↑ ↗
← N 28.330978°
E 25.249329°		 ← 268.84 m → N 28.330978°
E 25.252075°		 →
↑
268.86 m
↓
↑
268.86 m
↓
N 28.328560°
E 25.249329°		 ← 268.85 m →
72 281 m²		 N 28.328560°
E 25.252075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570140838623047 y=0.417888641357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570140838623047 × 217)
    floor (0.570140838623047 × 131072)
    floor (74729.5)     		tx = 74729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417888641357422 × 217)
    floor (0.417888641357422 × 131072)
    floor (54773.5)     		ty = 54773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74729 / 54773 ti = "17/74729/54773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74729/54773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74729 ÷ 217
    74729 ÷ 131072     		x = 0.570137023925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54773 ÷ 217
    54773 ÷ 131072     		y = 0.417884826660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570137023925781 × 2 - 1) × π
    0.140274047851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.44068392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417884826660156 × 2 - 1) × π
    0.164230346679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.515944850610664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44068392} λ = 0.44068392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515944850610664))-π/2
    2×atan(1.67522058745759)-π/2
    2×1.03263258308595-π/2
    2.0652651661719-1.57079632675     		φ = 0.49446884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44068392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.249329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49446884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.330978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74729 KachelY 54773 0.44068392 0.49446884 25.249329 28.330978
    Oben rechts KachelX + 1 74730 KachelY 54773 0.44073186 0.49446884 25.252075 28.330978
    Unten links KachelX 74729 KachelY + 1 54774 0.44068392 0.49442664 25.249329 28.328560
    Unten rechts KachelX + 1 74730 KachelY + 1 54774 0.44073186 0.49442664 25.252075 28.328560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49446884-0.49442664) × R
    4.22000000000478e-05 × 6371000     		dl = 268.856200000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49446884-0.49442664) × R
    4.22000000000478e-05 × 6371000     		dr = 268.856200000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44068392-0.44073186) × cos(0.49446884) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88022090350303 × 6371000     		do = 268.842120815705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44068392-0.44073186) × cos(0.49442664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880240929327658 × 6371000     		du = 268.848237218011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49446884)-sin(0.49442664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88022090350303-0.880240929327658)×R²
    abs(0.44073186-0.44068392)×2.00258246281226e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00258246281226e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00258246281226e-05×40589641000000     		ar = 72280.693229596m²