Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74728 / 55641
↖ ↑ ↗
← N 26.212127°
E 25.246582°		 ← 274.02 m → N 26.212127°
E 25.249329°		 →
↑
274.02 m
↓
↑
274.02 m
↓
N 26.209663°
E 25.246582°		 ← 274.02 m →
75 086 m²		 N 26.209663°
E 25.249329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570133209228516 y=0.424510955810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570133209228516 × 217)
    floor (0.570133209228516 × 131072)
    floor (74728.5)     		tx = 74728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424510955810547 × 217)
    floor (0.424510955810547 × 131072)
    floor (55641.5)     		ty = 55641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74728 / 55641 ti = "17/74728/55641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74728/55641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74728 ÷ 217
    74728 ÷ 131072     		x = 0.57012939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55641 ÷ 217
    55641 ÷ 131072     		y = 0.424507141113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57012939453125 × 2 - 1) × π
    0.1402587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44063598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424507141113281 × 2 - 1) × π
    0.150985717773438 × 3.1415926535     		Φ = 0.474335621740456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44063598} λ = 0.44063598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474335621740456))-π/2
    2×atan(1.60694622262086)-π/2
    2×1.01414212268156-π/2
    2.02828424536312-1.57079632675     		φ = 0.45748792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44063598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.246582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45748792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.212127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74728 KachelY 55641 0.44063598 0.45748792 25.246582 26.212127
    Oben rechts KachelX + 1 74729 KachelY 55641 0.44068392 0.45748792 25.249329 26.212127
    Unten links KachelX 74728 KachelY + 1 55642 0.44063598 0.45744491 25.246582 26.209663
    Unten rechts KachelX + 1 74729 KachelY + 1 55642 0.44068392 0.45744491 25.249329 26.209663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45748792-0.45744491) × R
    4.301000000001e-05 × 6371000     		dl = 274.016710000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45748792-0.45744491) × R
    4.301000000001e-05 × 6371000     		dr = 274.016710000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44063598-0.44068392) × cos(0.45748792) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.897164902224384 × 6371000     		do = 274.017254164048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44063598-0.44068392) × cos(0.45744491) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.8971838987289 × 6371000     		du = 274.023056185497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45748792)-sin(0.45744491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897164902224384-0.8971838987289)×R²
    abs(0.44068392-0.44063598)×1.89965045158669e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.89965045158669e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.89965045158669e-05×40589641000000     		ar = 75086.1014062844m²