Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74727 / 55643
↖ ↑ ↗
← N 26.207198°
E 25.243835°		 ← 274.03 m → N 26.207198°
E 25.246582°		 →
↑
274.02 m
↓
↑
274.02 m
↓
N 26.204734°
E 25.243835°		 ← 274.03 m →
75 089 m²		 N 26.204734°
E 25.246582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570125579833984 y=0.424526214599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570125579833984 × 217)
    floor (0.570125579833984 × 131072)
    floor (74727.5)     		tx = 74727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424526214599609 × 217)
    floor (0.424526214599609 × 131072)
    floor (55643.5)     		ty = 55643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74727 / 55643 ti = "17/74727/55643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74727/55643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74727 ÷ 217
    74727 ÷ 131072     		x = 0.570121765136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55643 ÷ 217
    55643 ÷ 131072     		y = 0.424522399902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570121765136719 × 2 - 1) × π
    0.140243530273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.44058804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424522399902344 × 2 - 1) × π
    0.150955200195312 × 3.1415926535     		Φ = 0.474239747941216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44058804} λ = 0.44058804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474239747941216))-π/2
    2×atan(1.60679216596644)-π/2
    2×1.01409911446709-π/2
    2.02819822893419-1.57079632675     		φ = 0.45740190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44058804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.243835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45740190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.207198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74727 KachelY 55643 0.44058804 0.45740190 25.243835 26.207198
    Oben rechts KachelX + 1 74728 KachelY 55643 0.44063598 0.45740190 25.246582 26.207198
    Unten links KachelX 74727 KachelY + 1 55644 0.44058804 0.45735889 25.243835 26.204734
    Unten rechts KachelX + 1 74728 KachelY + 1 55644 0.44063598 0.45735889 25.246582 26.204734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45740190-0.45735889) × R
    4.30099999999545e-05 × 6371000     		dl = 274.01670999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45740190-0.45735889) × R
    4.30099999999545e-05 × 6371000     		dr = 274.01670999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44058804-0.44063598) × cos(0.45740190) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.897202893573751 × 6371000     		do = 274.028857699725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44058804-0.44063598) × cos(0.45735889) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.897221886758903 × 6371000     		du = 274.034658707354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45740190)-sin(0.45735889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897202893573751-0.897221886758903)×R²
    abs(0.44063598-0.44058804)×1.89931851513059e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.89931851513059e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.89931851513059e-05×40589641000000     		ar = 75089.2808299223m²