Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74727 / 54770
↖ ↑ ↗
← N 28.338230°
E 25.243835°		 ← 268.82 m → N 28.338230°
E 25.246582°		 →
↑
268.79 m
↓
↑
268.79 m
↓
N 28.335813°
E 25.243835°		 ← 268.83 m →
72 259 m²		 N 28.335813°
E 25.246582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570125579833984 y=0.417865753173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570125579833984 × 217)
    floor (0.570125579833984 × 131072)
    floor (74727.5)     		tx = 74727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417865753173828 × 217)
    floor (0.417865753173828 × 131072)
    floor (54770.5)     		ty = 54770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74727 / 54770 ti = "17/74727/54770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74727/54770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74727 ÷ 217
    74727 ÷ 131072     		x = 0.570121765136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54770 ÷ 217
    54770 ÷ 131072     		y = 0.417861938476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570121765136719 × 2 - 1) × π
    0.140243530273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.44058804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417861938476562 × 2 - 1) × π
    0.164276123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.516088661309525
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44058804} λ = 0.44058804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.516088661309525))-π/2
    2×atan(1.67546151942489)-π/2
    2×1.03269587351772-π/2
    2.06539174703543-1.57079632675     		φ = 0.49459542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44058804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.243835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49459542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.338230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74727 KachelY 54770 0.44058804 0.49459542 25.243835 28.338230
    Oben rechts KachelX + 1 74728 KachelY 54770 0.44063598 0.49459542 25.246582 28.338230
    Unten links KachelX 74727 KachelY + 1 54771 0.44058804 0.49455323 25.243835 28.335813
    Unten rechts KachelX + 1 74728 KachelY + 1 54771 0.44063598 0.49455323 25.246582 28.335813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49459542-0.49455323) × R
    4.21899999999975e-05 × 6371000     		dl = 268.792489999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49459542-0.49455323) × R
    4.21899999999975e-05 × 6371000     		dr = 268.792489999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44058804-0.44063598) × cos(0.49459542) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880160826117605 × 6371000     		do = 268.823771635804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44058804-0.44063598) × cos(0.49455323) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880180851897596 × 6371000     		du = 268.829888024477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49459542)-sin(0.49455323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880160826117605-0.880180851897596)×R²
    abs(0.44063598-0.44058804)×2.00257799913839e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00257799913839e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00257799913839e-05×40589641000000     		ar = 72258.6329795981m²