Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74727 / 54542
↖ ↑ ↗
← N 28.887969°
E 25.243835°		 ← 267.42 m → N 28.887969°
E 25.246582°		 →
↑
267.39 m
↓
↑
267.39 m
↓
N 28.885565°
E 25.243835°		 ← 267.43 m →
71 507 m²		 N 28.885565°
E 25.246582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570125579833984 y=0.416126251220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570125579833984 × 217)
    floor (0.570125579833984 × 131072)
    floor (74727.5)     		tx = 74727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416126251220703 × 217)
    floor (0.416126251220703 × 131072)
    floor (54542.5)     		ty = 54542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74727 / 54542 ti = "17/74727/54542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74727/54542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74727 ÷ 217
    74727 ÷ 131072     		x = 0.570121765136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54542 ÷ 217
    54542 ÷ 131072     		y = 0.416122436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570121765136719 × 2 - 1) × π
    0.140243530273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.44058804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416122436523438 × 2 - 1) × π
    0.167755126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.527018274422897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44058804} λ = 0.44058804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.527018274422897))-π/2
    2×atan(1.69387410353749)-π/2
    2×1.0374932530624-π/2
    2.0749865061248-1.57079632675     		φ = 0.50419018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44058804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.243835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50419018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.887969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74727 KachelY 54542 0.44058804 0.50419018 25.243835 28.887969
    Oben rechts KachelX + 1 74728 KachelY 54542 0.44063598 0.50419018 25.246582 28.887969
    Unten links KachelX 74727 KachelY + 1 54543 0.44058804 0.50414821 25.243835 28.885565
    Unten rechts KachelX + 1 74728 KachelY + 1 54543 0.44063598 0.50414821 25.246582 28.885565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50419018-0.50414821) × R
    4.19700000000578e-05 × 6371000     		dl = 267.390870000368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50419018-0.50414821) × R
    4.19700000000578e-05 × 6371000     		dr = 267.390870000368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44058804-0.44063598) × cos(0.50419018) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875565984351316 × 6371000     		do = 267.420388689154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44058804-0.44063598) × cos(0.50414821) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875586259226222 × 6371000     		du = 267.426581157825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50419018)-sin(0.50414821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875565984351316-0.875586259226222)×R²
    abs(0.44063598-0.44058804)×2.02748749057458e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02748749057458e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02748749057458e-05×40589641000000     		ar = 71506.5983027456m²