Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74725 / 54771
↖ ↑ ↗
← N 28.335813°
E 25.238342°		 ← 268.83 m → N 28.335813°
E 25.241089°		 →
↑
268.86 m
↓
↑
268.86 m
↓
N 28.333395°
E 25.238342°		 ← 268.84 m →
72 277 m²		 N 28.333395°
E 25.241089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570110321044922 y=0.417873382568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570110321044922 × 217)
    floor (0.570110321044922 × 131072)
    floor (74725.5)     		tx = 74725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417873382568359 × 217)
    floor (0.417873382568359 × 131072)
    floor (54771.5)     		ty = 54771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74725 / 54771 ti = "17/74725/54771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74725/54771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74725 ÷ 217
    74725 ÷ 131072     		x = 0.570106506347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54771 ÷ 217
    54771 ÷ 131072     		y = 0.417869567871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570106506347656 × 2 - 1) × π
    0.140213012695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.44049217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417869567871094 × 2 - 1) × π
    0.164260864257812 × 3.1415926535     		Φ = 0.516040724409904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44049217} λ = 0.44049217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.516040724409904))-π/2
    2×atan(1.67538120491925)-π/2
    2×1.03267477718712-π/2
    2.06534955437424-1.57079632675     		φ = 0.49455323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44049217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.238342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49455323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.335813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74725 KachelY 54771 0.44049217 0.49455323 25.238342 28.335813
    Oben rechts KachelX + 1 74726 KachelY 54771 0.44054011 0.49455323 25.241089 28.335813
    Unten links KachelX 74725 KachelY + 1 54772 0.44049217 0.49451103 25.238342 28.333395
    Unten rechts KachelX + 1 74726 KachelY + 1 54772 0.44054011 0.49451103 25.241089 28.333395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49455323-0.49451103) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dl = 268.856199999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49455323-0.49451103) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dr = 268.856199999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44049217-0.44054011) × cos(0.49455323) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880180851897596 × 6371000     		do = 268.829888024477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44049217-0.44054011) × cos(0.49451103) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880200880856882 × 6371000     		du = 268.836005384189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49455323)-sin(0.49451103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880180851897596-0.880200880856882)×R²
    abs(0.44054011-0.44049217)×2.00289592862113e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00289592862113e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00289592862113e-05×40589641000000     		ar = 72277.4044964288m²