Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74725 / 54693
↖ ↑ ↗
← N 28.524209°
E 25.238342°		 ← 268.35 m → N 28.524209°
E 25.241089°		 →
↑
268.35 m
↓
↑
268.35 m
↓
N 28.521796°
E 25.238342°		 ← 268.36 m →
72 012 m²		 N 28.521796°
E 25.241089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570110321044922 y=0.417278289794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570110321044922 × 217)
    floor (0.570110321044922 × 131072)
    floor (74725.5)     		tx = 74725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417278289794922 × 217)
    floor (0.417278289794922 × 131072)
    floor (54693.5)     		ty = 54693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74725 / 54693 ti = "17/74725/54693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74725/54693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74725 ÷ 217
    74725 ÷ 131072     		x = 0.570106506347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54693 ÷ 217
    54693 ÷ 131072     		y = 0.417274475097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570106506347656 × 2 - 1) × π
    0.140213012695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.44049217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417274475097656 × 2 - 1) × π
    0.165451049804688 × 3.1415926535     		Φ = 0.519779802580269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44049217} λ = 0.44049217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.519779802580269))-π/2
    2×atan(1.68165731232567)-π/2
    2×1.03431884742169-π/2
    2.06863769484338-1.57079632675     		φ = 0.49784137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44049217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.238342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49784137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.524209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74725 KachelY 54693 0.44049217 0.49784137 25.238342 28.524209
    Oben rechts KachelX + 1 74726 KachelY 54693 0.44054011 0.49784137 25.241089 28.524209
    Unten links KachelX 74725 KachelY + 1 54694 0.44049217 0.49779925 25.238342 28.521796
    Unten rechts KachelX + 1 74726 KachelY + 1 54694 0.44054011 0.49779925 25.241089 28.521796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49784137-0.49779925) × R
    4.21199999999788e-05 × 6371000     		dl = 268.346519999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49784137-0.49779925) × R
    4.21199999999788e-05 × 6371000     		dr = 268.346519999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44049217-0.44054011) × cos(0.49784137) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.878615418809363 × 6371000     		do = 268.351764465084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44049217-0.44054011) × cos(0.49779925) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.878635531595565 × 6371000     		du = 268.357907427693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49784137)-sin(0.49779925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878615418809363-0.878635531595565)×R²
    abs(0.44054011-0.44049217)×2.01127862021755e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01127862021755e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01127862021755e-05×40589641000000     		ar = 72012.0863620701m²