Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74724 / 78564
↖ ↑ ↗
← S 33.660353°
E 25.235595°		 ← 254.22 m → S 33.660353°
E 25.238342°		 →
↑
254.20 m
↓
↑
254.20 m
↓
S 33.662639°
E 25.235595°		 ← 254.21 m →
64 622 m²		 S 33.662639°
E 25.238342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570102691650391 y=0.599399566650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570102691650391 × 217)
    floor (0.570102691650391 × 131072)
    floor (74724.5)     		tx = 74724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599399566650391 × 217)
    floor (0.599399566650391 × 131072)
    floor (78564.5)     		ty = 78564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74724 / 78564 ti = "17/74724/78564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74724/78564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74724 ÷ 217
    74724 ÷ 131072     		x = 0.570098876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78564 ÷ 217
    78564 ÷ 131072     		y = 0.599395751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570098876953125 × 2 - 1) × π
    0.14019775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44044423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599395751953125 × 2 - 1) × π
    -0.19879150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.624521928250092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44044423} λ = 0.44044423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.624521928250092))-π/2
    2×atan(0.535517383064225)-π/2
    2×0.491656168724072-π/2
    0.983312337448144-1.57079632675     		φ = -0.58748399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44044423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.235595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58748399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.660353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74724 KachelY 78564 0.44044423 -0.58748399 25.235595 -33.660353
    Oben rechts KachelX + 1 74725 KachelY 78564 0.44049217 -0.58748399 25.238342 -33.660353
    Unten links KachelX 74724 KachelY + 1 78565 0.44044423 -0.58752389 25.235595 -33.662639
    Unten rechts KachelX + 1 74725 KachelY + 1 78565 0.44049217 -0.58752389 25.238342 -33.662639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58748399--0.58752389) × R
    3.99000000000926e-05 × 6371000     		dl = 254.20290000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58748399--0.58752389) × R
    3.99000000000926e-05 × 6371000     		dr = 254.20290000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44044423-0.44049217) × cos(-0.58748399) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.832337857467423 × 6371000     		do = 254.21740604713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44044423-0.44049217) × cos(-0.58752389) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.832315741487381 × 6371000     		du = 254.21065125756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58748399)-sin(-0.58752389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832337857467423-0.832315741487381)×R²
    abs(0.44049217-0.44044423)×2.21159800420923e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21159800420923e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21159800420923e-05×40589641000000     		ar = 64621.9433128894m²