Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74722 / 54689
↖ ↑ ↗
← N 28.533861°
E 25.230103°		 ← 268.33 m → N 28.533861°
E 25.232849°		 →
↑
268.28 m
↓
↑
268.28 m
↓
N 28.531449°
E 25.230103°		 ← 268.33 m →
71 988 m²		 N 28.531449°
E 25.232849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570087432861328 y=0.417247772216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570087432861328 × 217)
    floor (0.570087432861328 × 131072)
    floor (74722.5)     		tx = 74722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417247772216797 × 217)
    floor (0.417247772216797 × 131072)
    floor (54689.5)     		ty = 54689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74722 / 54689 ti = "17/74722/54689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74722/54689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74722 ÷ 217
    74722 ÷ 131072     		x = 0.570083618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54689 ÷ 217
    54689 ÷ 131072     		y = 0.417243957519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570083618164062 × 2 - 1) × π
    0.140167236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44034836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417243957519531 × 2 - 1) × π
    0.165512084960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.519971550178749
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44034836} λ = 0.44034836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.519971550178749))-π/2
    2×atan(1.68197979699362)-π/2
    2×1.03440307976322-π/2
    2.06880615952643-1.57079632675     		φ = 0.49800983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44034836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.230103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49800983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.533861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74722 KachelY 54689 0.44034836 0.49800983 25.230103 28.533861
    Oben rechts KachelX + 1 74723 KachelY 54689 0.44039630 0.49800983 25.232849 28.533861
    Unten links KachelX 74722 KachelY + 1 54690 0.44034836 0.49796772 25.230103 28.531449
    Unten rechts KachelX + 1 74723 KachelY + 1 54690 0.44039630 0.49796772 25.232849 28.531449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49800983-0.49796772) × R
    4.21099999999841e-05 × 6371000     		dl = 268.282809999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49800983-0.49796772) × R
    4.21099999999841e-05 × 6371000     		dr = 268.282809999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44034836-0.44039630) × cos(0.49800983) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.878534961631005 × 6371000     		do = 268.327190772156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44034836-0.44039630) × cos(0.49796772) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.878555075874829 × 6371000     		du = 268.333334179961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49800983)-sin(0.49796772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878534961631005-0.878555075874829)×R²
    abs(0.44039630-0.44034836)×2.01142438243096e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.01142438243096e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.01142438243096e-05×40589641000000     		ar = 71988.3968357561m²