Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74720 / 53792
↖ ↑ ↗
← N 30.675715°
E 25.224610°		 ← 262.63 m → N 30.675715°
E 25.227356°		 →
↑
262.68 m
↓
↑
262.68 m
↓
N 30.673353°
E 25.224610°		 ← 262.64 m →
68 988 m²		 N 30.673353°
E 25.227356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570072174072266 y=0.410404205322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570072174072266 × 217)
    floor (0.570072174072266 × 131072)
    floor (74720.5)     		tx = 74720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410404205322266 × 217)
    floor (0.410404205322266 × 131072)
    floor (53792.5)     		ty = 53792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74720 / 53792 ti = "17/74720/53792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74720/53792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74720 ÷ 217
    74720 ÷ 131072     		x = 0.570068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53792 ÷ 217
    53792 ÷ 131072     		y = 0.410400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570068359375 × 2 - 1) × π
    0.14013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44025249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410400390625 × 2 - 1) × π
    0.17919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.562970949137939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44025249} λ = 0.44025249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.562970949137939))-π/2
    2×atan(1.75588139309809)-π/2
    2×1.05309428049426-π/2
    2.10618856098853-1.57079632675     		φ = 0.53539223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44025249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.224610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53539223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.675715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74720 KachelY 53792 0.44025249 0.53539223 25.224610 30.675715
    Oben rechts KachelX + 1 74721 KachelY 53792 0.44030042 0.53539223 25.227356 30.675715
    Unten links KachelX 74720 KachelY + 1 53793 0.44025249 0.53535100 25.224610 30.673353
    Unten rechts KachelX + 1 74721 KachelY + 1 53793 0.44030042 0.53535100 25.227356 30.673353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53539223-0.53535100) × R
    4.12300000000032e-05 × 6371000     		dl = 262.67633000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53539223-0.53535100) × R
    4.12300000000032e-05 × 6371000     		dr = 262.67633000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44025249-0.44030042) × cos(0.53539223) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.860068588155245 × 6371000     		do = 262.63229001848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44025249-0.44030042) × cos(0.53535100) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.860089622080614 × 6371000     		du = 262.63871298063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53539223)-sin(0.53535100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860068588155245-0.860089622080614)×R²
    abs(0.44030042-0.44025249)×2.10339253685632e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.10339253685632e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.10339253685632e-05×40589641000000     		ar = 68988.1296714912m²