Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7472 / 4453
↖ ↑ ↗
← N 63.184107°
W 15.820312°		 ← 1 102.20 m → N 63.184107°
W 15.798340°		 →
↑
1 102.37 m
↓
↑
1 102.37 m
↓
N 63.174194°
W 15.820312°		 ← 1 102.57 m →
1 215 240 m²		 N 63.174194°
W 15.798340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456085205078125 y=0.271820068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456085205078125 × 214)
    floor (0.456085205078125 × 16384)
    floor (7472.5)     		tx = 7472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271820068359375 × 214)
    floor (0.271820068359375 × 16384)
    floor (4453.5)     		ty = 4453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7472 / 4453 ti = "14/7472/4453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7472/4453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7472 ÷ 214
    7472 ÷ 16384     		x = 0.4560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4453 ÷ 214
    4453 ÷ 16384     		y = 0.27178955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4560546875 × 2 - 1) × π
    -0.087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27611654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27178955078125 × 2 - 1) × π
    0.4564208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.43388854143512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27611654} λ = -0.27611654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43388854143512))-π/2
    2×atan(4.19497987040771)-π/2
    2×1.33678352069017-π/2
    2.67356704138033-1.57079632675     		φ = 1.10277071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27611654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.820312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10277071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.184107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7472 KachelY 4453 -0.27611654 1.10277071 -15.820312 63.184107
    Oben rechts KachelX + 1 7473 KachelY 4453 -0.27573305 1.10277071 -15.798340 63.184107
    Unten links KachelX 7472 KachelY + 1 4454 -0.27611654 1.10259768 -15.820312 63.174194
    Unten rechts KachelX + 1 7473 KachelY + 1 4454 -0.27573305 1.10259768 -15.798340 63.174194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10277071-1.10259768) × R
    0.000173030000000018 × 6371000     		dl = 1102.37413000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10277071-1.10259768) × R
    0.000173030000000018 × 6371000     		dr = 1102.37413000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27611654--0.27573305) × cos(1.10277071) × R
    0.000383490000000042 × 0.451125106350424 × 6371000     		do = 1102.1955319758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27611654--0.27573305) × cos(1.10259768) × R
    0.000383490000000042 × 0.451279522074995 × 6371000     		du = 1102.57280275788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10277071)-sin(1.10259768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451125106350424-0.451279522074995)×R²
    abs(-0.27573305--0.27611654)×0.000154415724570478×R²
    0.000383490000000042×0.000154415724570478×6371000²
    0.000383490000000042×0.000154415724570478×40589641000000     		ar = 1215239.79045831m²