Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7472 / 10649
↖ ↑ ↗
← S 47.413220°
W 15.820312°		 ← 1 653.34 m → S 47.413220°
W 15.798340°		 →
↑
1 653.15 m
↓
↑
1 653.15 m
↓
S 47.428087°
W 15.820312°		 ← 1 652.87 m →
2 732 826 m²		 S 47.428087°
W 15.798340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456085205078125 y=0.649993896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456085205078125 × 214)
    floor (0.456085205078125 × 16384)
    floor (7472.5)     		tx = 7472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649993896484375 × 214)
    floor (0.649993896484375 × 16384)
    floor (10649.5)     		ty = 10649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7472 / 10649 ti = "14/7472/10649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7472/10649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7472 ÷ 214
    7472 ÷ 16384     		x = 0.4560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10649 ÷ 214
    10649 ÷ 16384     		y = 0.64996337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4560546875 × 2 - 1) × π
    -0.087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27611654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64996337890625 × 2 - 1) × π
    -0.2999267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.942247698931824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27611654} λ = -0.27611654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.942247698931824))-π/2
    2×atan(0.389750807606655)-π/2
    2×0.371639761539079-π/2
    0.743279523078159-1.57079632675     		φ = -0.82751680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27611654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.820312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82751680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.413220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7472 KachelY 10649 -0.27611654 -0.82751680 -15.820312 -47.413220
    Oben rechts KachelX + 1 7473 KachelY 10649 -0.27573305 -0.82751680 -15.798340 -47.413220
    Unten links KachelX 7472 KachelY + 1 10650 -0.27611654 -0.82777628 -15.820312 -47.428087
    Unten rechts KachelX + 1 7473 KachelY + 1 10650 -0.27573305 -0.82777628 -15.798340 -47.428087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82751680--0.82777628) × R
    0.000259479999999979 × 6371000     		dl = 1653.14707999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82751680--0.82777628) × R
    0.000259479999999979 × 6371000     		dr = 1653.14707999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27611654--0.27573305) × cos(-0.82751680) × R
    0.000383490000000042 × 0.676706108632656 × 6371000     		do = 1653.33837309483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27611654--0.27573305) × cos(-0.82777628) × R
    0.000383490000000042 × 0.676515042861209 × 6371000     		du = 1652.87155837617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82751680)-sin(-0.82777628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676706108632656-0.676515042861209)×R²
    abs(-0.27573305--0.27611654)×0.000191065771447119×R²
    0.000383490000000042×0.000191065771447119×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191065771447119×40589641000000     		ar = 2732825.66237242m²