Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74718 / 54753
↖ ↑ ↗
← N 28.379319°
E 25.219116°		 ← 268.72 m → N 28.379319°
E 25.221863°		 →
↑
268.73 m
↓
↑
268.73 m
↓
N 28.376902°
E 25.219116°		 ← 268.73 m →
72 214 m²		 N 28.376902°
E 25.221863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570056915283203 y=0.417736053466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570056915283203 × 217)
    floor (0.570056915283203 × 131072)
    floor (74718.5)     		tx = 74718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417736053466797 × 217)
    floor (0.417736053466797 × 131072)
    floor (54753.5)     		ty = 54753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74718 / 54753 ti = "17/74718/54753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74718/54753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74718 ÷ 217
    74718 ÷ 131072     		x = 0.570053100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54753 ÷ 217
    54753 ÷ 131072     		y = 0.417732238769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570053100585938 × 2 - 1) × π
    0.140106201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44015661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417732238769531 × 2 - 1) × π
    0.164535522460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.516903588603066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44015661} λ = 0.44015661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.516903588603066))-π/2
    2×atan(1.67682745523995)-π/2
    2×1.03305443767142-π/2
    2.06610887534285-1.57079632675     		φ = 0.49531255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44015661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.219116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49531255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.379319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74718 KachelY 54753 0.44015661 0.49531255 25.219116 28.379319
    Oben rechts KachelX + 1 74719 KachelY 54753 0.44020455 0.49531255 25.221863 28.379319
    Unten links KachelX 74718 KachelY + 1 54754 0.44015661 0.49527037 25.219116 28.376902
    Unten rechts KachelX + 1 74719 KachelY + 1 54754 0.44020455 0.49527037 25.221863 28.376902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49531255-0.49527037) × R
    4.21800000000028e-05 × 6371000     		dl = 268.728780000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49531255-0.49527037) × R
    4.21800000000028e-05 × 6371000     		dr = 268.728780000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44015661-0.44020455) × cos(0.49531255) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.879820195715044 × 6371000     		do = 268.719734343036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44015661-0.44020455) × cos(0.49527037) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.879840243367386 × 6371000     		du = 268.725857412088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49531255)-sin(0.49527037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879820195715044-0.879840243367386)×R²
    abs(0.44020455-0.44015661)×2.00476523420923e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00476523420923e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00476523420923e-05×40589641000000     		ar = 72213.5491050373m²