Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74717 / 76703
↖ ↑ ↗
← S 29.303166°
E 25.216370°		 ← 266.29 m → S 29.303166°
E 25.219116°		 →
↑
266.31 m
↓
↑
266.31 m
↓
S 29.305561°
E 25.216370°		 ← 266.28 m →
70 914 m²		 S 29.305561°
E 25.219116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570049285888672 y=0.585201263427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570049285888672 × 217)
    floor (0.570049285888672 × 131072)
    floor (74717.5)     		tx = 74717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585201263427734 × 217)
    floor (0.585201263427734 × 131072)
    floor (76703.5)     		ty = 76703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74717 / 76703 ti = "17/74717/76703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74717/76703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74717 ÷ 217
    74717 ÷ 131072     		x = 0.570045471191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76703 ÷ 217
    76703 ÷ 131072     		y = 0.585197448730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570045471191406 × 2 - 1) × π
    0.140090942382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.44010868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585197448730469 × 2 - 1) × π
    -0.170394897460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.535311358057167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44010868} λ = 0.44010868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.535311358057167))-π/2
    2×atan(0.585486965678041)-π/2
    2×0.529679797521496-π/2
    1.05935959504299-1.57079632675     		φ = -0.51143673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44010868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.216370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51143673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.303166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74717 KachelY 76703 0.44010868 -0.51143673 25.216370 -29.303166
    Oben rechts KachelX + 1 74718 KachelY 76703 0.44015661 -0.51143673 25.219116 -29.303166
    Unten links KachelX 74717 KachelY + 1 76704 0.44010868 -0.51147853 25.216370 -29.305561
    Unten rechts KachelX + 1 74718 KachelY + 1 76704 0.44015661 -0.51147853 25.219116 -29.305561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51143673--0.51147853) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dl = 266.307799999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51143673--0.51147853) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dr = 266.307799999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44010868-0.44015661) × cos(-0.51143673) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.872042228234697 × 6371000     		do = 266.288585059633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44010868-0.44015661) × cos(-0.51147853) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.872021769272083 × 6371000     		du = 266.282337669278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51143673)-sin(-0.51147853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872042228234697-0.872021769272083)×R²
    abs(0.44015661-0.44010868)×2.0458962613934e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.0458962613934e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.0458962613934e-05×40589641000000     		ar = 70913.8953982169m²