Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74715 / 53723
↖ ↑ ↗
← N 30.838573°
E 25.210876°		 ← 262.24 m → N 30.838573°
E 25.213623°		 →
↑
262.23 m
↓
↑
262.23 m
↓
N 30.836214°
E 25.210876°		 ← 262.25 m →
68 769 m²		 N 30.836214°
E 25.213623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570034027099609 y=0.409877777099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570034027099609 × 217)
    floor (0.570034027099609 × 131072)
    floor (74715.5)     		tx = 74715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409877777099609 × 217)
    floor (0.409877777099609 × 131072)
    floor (53723.5)     		ty = 53723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74715 / 53723 ti = "17/74715/53723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74715/53723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74715 ÷ 217
    74715 ÷ 131072     		x = 0.570030212402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53723 ÷ 217
    53723 ÷ 131072     		y = 0.409873962402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570030212402344 × 2 - 1) × π
    0.140060424804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.44001280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409873962402344 × 2 - 1) × π
    0.180252075195312 × 3.1415926535     		Φ = 0.566278595211723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44001280} λ = 0.44001280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.566278595211723))-π/2
    2×atan(1.76169884302287)-π/2
    2×1.0545154803517-π/2
    2.1090309607034-1.57079632675     		φ = 0.53823463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44001280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.210876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53823463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.838573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74715 KachelY 53723 0.44001280 0.53823463 25.210876 30.838573
    Oben rechts KachelX + 1 74716 KachelY 53723 0.44006074 0.53823463 25.213623 30.838573
    Unten links KachelX 74715 KachelY + 1 53724 0.44001280 0.53819347 25.210876 30.836214
    Unten rechts KachelX + 1 74716 KachelY + 1 53724 0.44006074 0.53819347 25.213623 30.836214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53823463-0.53819347) × R
    4.11600000000956e-05 × 6371000     		dl = 262.230360000609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53823463-0.53819347) × R
    4.11600000000956e-05 × 6371000     		dr = 262.230360000609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44001280-0.44006074) × cos(0.53823463) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.858614984610359 × 6371000     		do = 262.243117049839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44001280-0.44006074) × cos(0.53819347) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.858636083364149 × 6371000     		du = 262.249561152329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53823463)-sin(0.53819347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858614984610359-0.858636083364149)×R²
    abs(0.44006074-0.44001280)×2.10987537899721e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10987537899721e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10987537899721e-05×40589641000000     		ar = 68768.951921039m²