Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74714 / 53739
↖ ↑ ↗
← N 30.800834°
E 25.208130°		 ← 262.35 m → N 30.800834°
E 25.210876°		 →
↑
262.36 m
↓
↑
262.36 m
↓
N 30.798474°
E 25.208130°		 ← 262.35 m →
68 829 m²		 N 30.798474°
E 25.210876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570026397705078 y=0.409999847412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570026397705078 × 217)
    floor (0.570026397705078 × 131072)
    floor (74714.5)     		tx = 74714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409999847412109 × 217)
    floor (0.409999847412109 × 131072)
    floor (53739.5)     		ty = 53739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74714 / 53739 ti = "17/74714/53739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74714/53739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74714 ÷ 217
    74714 ÷ 131072     		x = 0.570022583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53739 ÷ 217
    53739 ÷ 131072     		y = 0.409996032714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570022583007812 × 2 - 1) × π
    0.140045166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43996486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409996032714844 × 2 - 1) × π
    0.180007934570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.565511604817802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43996486} λ = 0.43996486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.565511604817802))-π/2
    2×atan(1.76034815498188)-π/2
    2×1.0541861409138-π/2
    2.1083722818276-1.57079632675     		φ = 0.53757596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43996486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.208130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53757596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.800834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74714 KachelY 53739 0.43996486 0.53757596 25.208130 30.800834
    Oben rechts KachelX + 1 74715 KachelY 53739 0.44001280 0.53757596 25.210876 30.800834
    Unten links KachelX 74714 KachelY + 1 53740 0.43996486 0.53753478 25.208130 30.798474
    Unten rechts KachelX + 1 74715 KachelY + 1 53740 0.44001280 0.53753478 25.210876 30.798474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53757596-0.53753478) × R
    4.1179999999974e-05 × 6371000     		dl = 262.357779999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53757596-0.53753478) × R
    4.1179999999974e-05 × 6371000     		dr = 262.357779999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43996486-0.44001280) × cos(0.53757596) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.858952446418535 × 6371000     		do = 262.346186572019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43996486-0.44001280) × cos(0.53753478) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.858973532130076 × 6371000     		du = 262.35262669107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53757596)-sin(0.53753478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858952446418535-0.858973532130076)×R²
    abs(0.44001280-0.43996486)×2.10857115404695e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.10857115404695e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10857115404695e-05×40589641000000     		ar = 68829.4079179043m²