Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74714 / 53720
↖ ↑ ↗
← N 30.845648°
E 25.208130°		 ← 262.22 m → N 30.845648°
E 25.210876°		 →
↑
262.23 m
↓
↑
262.23 m
↓
N 30.843289°
E 25.208130°		 ← 262.23 m →
68 764 m²		 N 30.843289°
E 25.210876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570026397705078 y=0.409854888916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570026397705078 × 217)
    floor (0.570026397705078 × 131072)
    floor (74714.5)     		tx = 74714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409854888916016 × 217)
    floor (0.409854888916016 × 131072)
    floor (53720.5)     		ty = 53720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74714 / 53720 ti = "17/74714/53720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74714/53720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74714 ÷ 217
    74714 ÷ 131072     		x = 0.570022583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53720 ÷ 217
    53720 ÷ 131072     		y = 0.40985107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570022583007812 × 2 - 1) × π
    0.140045166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43996486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40985107421875 × 2 - 1) × π
    0.1802978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.566422405910583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43996486} λ = 0.43996486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.566422405910583))-π/2
    2×atan(1.76195221238284)-π/2
    2×1.05457721708624-π/2
    2.10915443417248-1.57079632675     		φ = 0.53835811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43996486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.208130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53835811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.845648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74714 KachelY 53720 0.43996486 0.53835811 25.208130 30.845648
    Oben rechts KachelX + 1 74715 KachelY 53720 0.44001280 0.53835811 25.210876 30.845648
    Unten links KachelX 74714 KachelY + 1 53721 0.43996486 0.53831695 25.208130 30.843289
    Unten rechts KachelX + 1 74715 KachelY + 1 53721 0.44001280 0.53831695 25.210876 30.843289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53835811-0.53831695) × R
    4.11599999999845e-05 × 6371000     		dl = 262.230359999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53835811-0.53831695) × R
    4.11599999999845e-05 × 6371000     		dr = 262.230359999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43996486-0.44001280) × cos(0.53835811) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.85855167962142 × 6371000     		do = 262.223782076443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43996486-0.44001280) × cos(0.53831695) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.858572782738959 × 6371000     		du = 262.230227511734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53835811)-sin(0.53831695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85855167962142-0.858572782738959)×R²
    abs(0.44001280-0.43996486)×2.11031175390008e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.11031175390008e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.11031175390008e-05×40589641000000     		ar = 68763.8818785005m²