Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74709 / 61011
↖ ↑ ↗
← N 12.331952°
E 25.194397°		 ← 298.38 m → N 12.331952°
E 25.197144°		 →
↑
298.35 m
↓
↑
298.35 m
↓
N 12.329269°
E 25.194397°		 ← 298.38 m →
89 023 m²		 N 12.329269°
E 25.197144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569988250732422 y=0.465480804443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569988250732422 × 217)
    floor (0.569988250732422 × 131072)
    floor (74709.5)     		tx = 74709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465480804443359 × 217)
    floor (0.465480804443359 × 131072)
    floor (61011.5)     		ty = 61011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74709 / 61011 ti = "17/74709/61011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74709/61011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74709 ÷ 217
    74709 ÷ 131072     		x = 0.569984436035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61011 ÷ 217
    61011 ÷ 131072     		y = 0.465476989746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569984436035156 × 2 - 1) × π
    0.139968872070312 × 3.1415926535     		Λ = 0.43972518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465476989746094 × 2 - 1) × π
    0.0690460205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.216914470780754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43972518} λ = 0.43972518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.216914470780754))-π/2
    2×atan(1.24223784996057)-π/2
    2×0.893014749077098-π/2
    1.7860294981542-1.57079632675     		φ = 0.21523317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43972518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.194397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21523317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.331952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74709 KachelY 61011 0.43972518 0.21523317 25.194397 12.331952
    Oben rechts KachelX + 1 74710 KachelY 61011 0.43977312 0.21523317 25.197144 12.331952
    Unten links KachelX 74709 KachelY + 1 61012 0.43972518 0.21518634 25.194397 12.329269
    Unten rechts KachelX + 1 74710 KachelY + 1 61012 0.43977312 0.21518634 25.197144 12.329269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21523317-0.21518634) × R
    4.68299999999977e-05 × 6371000     		dl = 298.353929999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21523317-0.21518634) × R
    4.68299999999977e-05 × 6371000     		dr = 298.353929999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43972518-0.43977312) × cos(0.21523317) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.976926621429208 × 6371000     		do = 298.378536275866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43972518-0.43977312) × cos(0.21518634) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.976936622085725 × 6371000     		du = 298.381590733783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21523317)-sin(0.21518634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976926621429208-0.976936622085725)×R²
    abs(0.43977312-0.43972518)×1.00006565163513e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.00006565163513e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.00006565163513e-05×40589641000000     		ar = 89022.8645965737m²